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1、6.2数学建模案例(一)：烧开水问题发现问题节约用气是非常现实的问题，也是降低生活能耗的重要途径提出问题节约燃气有很多途径，现给定以下任务：取定一壶水，希望在不更换水壶，且不能对壶中的水进行其他处理的情况下，只通过控制燃气阀门改变气流量，使烧开这壶水所使用燃气量最少分析问题为使问题的研究方便，这里只考虑一次性烧开一壶水，且烧开一壶水期间不改变燃气阀门大小的情况，进行以下实验，实验方案如下：1给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选择五个位置，在要求精度较高的情况下，可以探究更多的位置)因为关闭时，燃气旋钮的位置为竖直方向，我们把
2、这个位置定为0，燃气开到最大时，旋钮转了90.为了方便计算，将090五等分，如图，分别以18，36，54，72，90来确定五个位置(其他位置选取方法，同学们可以自己进行尝试)2在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量，得到了几组实验数据，如下表：位置项目开始时燃气读表数/m3水开时燃气读表数/m3所需燃气量/m3189.0809.2100.130368.9589.0800.122548.8198.9580.139728.6708.8190.149908.4988.6700.172解决问题1作散点图以旋钮角度为横坐标(x)，燃气用量为纵坐标(y)，将以上数据描在坐标纸上，如
3、图检验与改进1取旋钮39的位置，烧一壶开水，记录所得实际用气量是不是0.1218m3.如果基本吻合，就可以依此作结论了如果相差太大，特别是当用气量大于0.1218m3时，最小值点就肯定不是39，说明上述三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直到结果与实际比较接近就可以了实际上，如果我们取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，求出的函数最小值点就会小于39.2当旋钮旋转的角度很小，即有一点点火时，其火力是不能够将水烧开的，长时间燃烧，燃气量可以是非常大的，也就是说，散点图中贴近纵轴的点的位置会非常高，那么这个图象就不是一元二次函数的图象了，因此，前面说
4、“用一元二次函数近似地表示这种变化”是有局限性的，也只能说1890这个局部比较适用，而燃气最少用量恰在这个局部取得，于是选用一元二次函数模型是可行的3在做实验时，每次烧水时的水壶温度并不是真的完全一样，并且由于烧水的过程中有热量散失，这都会影响实验结果另外每次的读数也可能会不够准确，我们在建立函数模型之前做了这样的假设：实验足够精确的，所得实验数据是准确的4.尽管假设每次实验是准确的，但是实验都受客观环境的影响，不能保证环境是稳定的仅根据一组实验数据就建立数学模型可能与实际有较大的差距，可以重复多做几次实验，取几次实验数据的平均值，就可以减少误差评价与推广该模型建立过程中的假设条件太强该模型只考虑通过改变阀门位置来达到节约燃气用量的目的，有一定的局限性，实际过程中也可以考虑通过控制阀门大小，每次只烧半壶水，分两次完成烧水的方法来实现节约燃气用量的目的阀门位置改变时，燃气量的变化与阀门本身设计也有关，而在该模型中没有讨论
