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1、面与 空 间 曲 线 的 总YZ -SBEzkglhhkEAOX w 血 )壮、HOHN - oxEzk 匱部-SBEzkglhhkE匱部 w 佟E匱刮CN0HE9 20I + A寸+ 乂 寸哑 fla Z(9 2)H) + ZQP H Z(I Z) + Z(T)+Z(Z K)P 驱料 QffisfflIAIa 一丄 IAI slsu匱部g壮、伺只(ZQX)乏強 - 痢最伺旧g壮gffis枷(9S寸)8 3s二匣 。直H、魁归gE祖於 OAZAX)坐标面yOz、坐标面zOx以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程: x=0; y=0; x=a; y=b3. 球面方程:球面的标准方程：以M
2、0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。例2 :求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0)，半径为2的球。4. 母线平行于坐标轴的柱面方程：般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：若柱面的母线平行于z轴，准线c是x
3、Oy面上的一条曲线，其方程为 F(x,y)=0 , J则该柱面的方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别 表示母线平行于y轴和x轴的柱面。分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中 无此坐标项。其几何意义为：无论X2z取何值=&只要满足f(x,y)=o,则总在柱面上。 几种常见柱面：x+y=a平面；圆柱面x2a 2双曲柱面；x2 = 2 py抛物柱面。x2 y 2椭圆柱面；-丄=1a 2 b2以上所举例均为母线平行于 z 轴的情况，其他情况类似。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论：设 yOz 平面上有一已知曲线 c其方程为
4、f(y,z)=O,将c绕同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为:同理，以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面为z 轴旋转一周，所得到的以 z 轴 为轴的放置曲面的方程为： x2 + y 2 , z)二 0以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲f( X， y 2 + z 2)= 0 面例3 求顶点在原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 a 的圆锥面方程。解：将yOz面上的直线z=yctg a绕z轴旋转一周即得圆锥曲面z2 = a2(x2 + y2)整理后得：Z = JX 2 + y 2 Ctga其中 a=ctga二.空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：空间曲线一般可看作两个
5、曲面的交线若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=O和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为F(x, y, z) = 0g (x, y, z) = 0称此方程组为曲线c的一般方程。例4：方程组 v X2 + y 2 + Z 2 二 5 z = 2表示怎样的曲线？解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。例方程Z =、也2- x2 一 y2a(x - _)2 + y2 =表示怎样曲线Z = .%2 + y2/a、解:表示中心在原点，半径为1的上半球面(x - 2)2 + y2 = Cy)2表示母线平行于Z轴，准线在xoy面上半径为1的圆柱面它们的交线是xo y面上的一个圆,其圆心在(
6、2，)，半径为；2.空间曲线的参数方程：设空间曲线方程如果选定一个适当的函数X = x(x )代入上述方程组 厂x = x (t) y = y (t) z = z (t) 如果选定一个适当的函数X = x(x )代入上述方程组 称为空间中曲线的参数方程。以等速度v沿平例 如果空间一点M在圆柱面x2 +y2 =a2上以等角速度绕z周旋转，同时，平行于Z轴的正方向移动洌甲运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程MN = vt = zx = a cos 0y = sin 0 z = R0x = a cos roty = sin rotz = vt螺旋线有一个重要性质，当0从0 变到 0 + a 时，z由 0
7、0b 0 变到这说明当转过角 时， 点沿螺旋线升了高度 b00 -即即上升的高度与oM转过角度成正比。MF (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0三.空间曲线在坐标面上的投影：在该方程组中消去z得H(x,y)=O,此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。 此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲 H (x, y) = 0z = 0线，简称投影，其方程为同理可得 L 在 yOz 面及 xOz 面上投影方程为R (y, z) = 0x = 0T(x,z)=0y=0求曲线L：3x2 + y 2 = z z = 1 - y2在三个坐标
8、面上的投影曲线和3x2 - 2z -1 =1 y=0 投影曲线方程cz=1 - y2x=03x2 + y 2 = 1 z = 0 解 消去 Z 得 1-y2=3x2+y2 投影曲线方程投影柱面方程为 3x2+2y2=1消去 y 得 3x2+1-2Z=0投影柱面方程为 3x2-2Z-1=0消去 x 得 Z=1-y2投影柱面方程为 Z=1-y2*辰 zb H zi + ZKE聲 JK H Z2 + ZHx 2 + y 2 + z 2 = 1.x 2 + (y -1)2 + (z -1)2 = 1 在xOy面上的投影方程。例5 :求曲线x 2 + 2 y 2 一 2 y = 0解：上式减下式得z=1
9、-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上的投影方程为x 2 + 2 y 2 一 2 y = 0z = 0二旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yOz坐标面上有一已知曲线C,它的方程为f (y, z) =0,把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面.它的方程可以求得如下设M(xyz)为曲面上任一点它是曲线C上点M1(0, y1, z1)绕z轴旋转而得到的因此有如下关系等式f (片，zi)=0z=zi, I 儿1=2+y2 ,从而得 f (Jx2+y2, z)=0,这就是所求旋转曲面的方程.在曲线C的方程
10、f(y, z)=0中将y改成 ：X2；y7,便得曲线c绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程f (,.X2+y2, z)二0 .同理，曲线c绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为f(y, x2+z2) = 0.例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角Q (0d卫)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐 21标原点O,旋转轴为z轴，半顶角为Q的圆锥面的方程.解 在yOz坐标面内，直线L的方程为z=ycot a，将方程z=ycota中的y改成土甘2+y2，就得到所要求的圆锥面的方程Z = :X2+y2 cota，或z2=a2 (X2+y2)，其中
11、a=cot a.例5将zOx坐标面上的双曲线竺-空=1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋a 2 c 2转曲面的方程.解 绕X轴旋转所在的旋转曲面的方程为x2 _ y2 + z2.=丄.a2c2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为X2 + y2 _ 空=ia2 c2这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面三、柱面例6方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？解 方程X2+y2=R2在xOy面上表示圆心在原点0、半径为R的圆.在空间直角坐标系 中，这方程不含竖坐标Z,即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y 能满足这方程，那么这些点就在这曲面上.也就是说，过xOy面上的圆X2+y2
12、=R2,且平行 于Z轴的直线一定在X2+y2=R2表示的曲面上.所以这个曲面可以看成是由平行于Z轴的直 线I沿xOy面上的圆X2+y2=R2移动而形成的.这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆X2+y2=R2 叫做它的准线，这平行于Z轴的直线I叫做它的母线.例6方程x2+y2=R2表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中，过xOy面上的圆X2+y2=R2作平行于Z轴的直线l 则 直线l上的点都满足方程X2+y2=R2 因此直线l 一定在X2+y2=R2表示的曲面上.所以这个 曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆X2+y2=R2移动而形成的.这曲面叫 做圆柱面,XOy面上的圆X2+y2=R
13、2叫做它的准线，这平行于Z轴的直线l叫做它的母线.柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线.上面我们看到，不含Z的方程X2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面，它的母线平行 于Z轴，它的准线是xOy面上的圆X2+y2=R2.一般地，只含X、y而缺Z的方程F(x，y)=0,在空间直角坐标系中表示母线平行于Z轴 的柱面，其准线是xOy面上的曲线CF(x, y)=0.例如，方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面.又如，方程Xy=0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面的直线x-y=0,所以它是过z轴的平面.类似地，只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分别表1.椭球面与三个坐标面的交线均为椭圆X2 y2_+ T b2z=0x 2z 2+$C2J = 0z2 y2 11 _+ =1YO2bX=0x2h a 2(1 + _)b 2(1 + _)Z=h 截,截痕为一椭圆。+hx2Z22 单叶双曲面x2 y2z2+ + =1 a2aC2=b,则c2z2h2a2c 2z = hx=h ，或 y=h 截,截痕为一双曲线。x2z2.+ = 1 h 2h 2 a2(1
