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1、竞赛专题讲座几何变换主讲人:重庆市育才中学 瞿明强【竞赛知识点拨】一、 平移变换1 定义 设是一条给定的有向线段,T是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X,使得=,则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX,图形FF 。2 主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。二、 轴对称变换1 定义 设l是一条给定的直线,S是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X,使得X与X关于直线l对称,则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX,图形FF 。2 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应
2、直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、 旋转变换1 定义 设是一个定角,O是一个定点,R是平面上的一个变换,它把点O仍变到O(不动点),而把平面图形F上任一点X变到X,使得OX=OX,且XOX=,则R叫做绕中心O,旋转角为的旋转变换。记为XX,图形FF 。其中0时,为逆时针方向。2 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。四、 位似变换1 定义 设O是一个定点,H是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X,使得 =k,则H叫做以O为位似中心,k为位似比的位似变换。记为XX,图形FF 。其中k0时,X在射线OX上,此时的位似变换叫
3、做外位似;k0时, X在射线OX的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。2 主要性质 在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例1】P是平行四边形ABCD内一点,且PAB=PCB。求证:PBA=PDA。【分析】作变换ABPDCP,则ABPDCP,1=5,3=6。由PPADBC
4、,ADPP、PPCB都是平行四边形,知2=8,4=7。由已知1=2,得5=8。P、D、P、C四点共圆。故6=7,即3=4。【例2】“风平三角形”中,AA=BB=CC=2,AOB=BOC=60。求证:AOB+BOC+COA。【分析】作变换AOCAQR,BOCBPR,则R、R重合,记为R。P、R、Q共线,O、A、Q共线,O、B、P共线,OPQ为等边三角形。AOB+BOC+COA2AD。【分析】设PP,PP。则RP=RP,PQ=PQ,AP=AP=AP。PQ+QR+RP= PQ+QR+RP。又A90,PAP+PAP=2A180,A点在线段PP上或在凸四边形PRQP的内部。PQ+QR+RPAP+AP=2
5、AP2AD。PQ+QR+RP2AD。【评注】如果题设中有角平分线、垂线,或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形,可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外,也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更,以便于比较它们之间的大小。【例7】以ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC,M是BC的中点。求证:MP=MQ,MPMQ。【分析】延长BP到E,使PE=BP,延长CQ到F, 使QF=CQ,则BAE、CAF都是等腰三角形。显然:EB,CF,EC=BF,ECBF。而PMEC,MQBF,MP=MQ,MPMQ。【例8】已知O是ABC内一点,AOB=BOC=COA=120;P是ABC内任一点,
6、求证:PA+PB+PCOA+OB+OC。(O为费马点)【分析】将CC,OO, PP,连结OO、PP。则B OO、B PP都是正三角形。OO=OB,PP =PB。显然BOCBOC,BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO,A、O、O、C四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC,即PA+PB+PCOA+OB+OC。【例9】O与ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2,过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、,设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证:a2、b1、c2三线也相交于一点。【分析】a1、a2关于圆心O成中心对称,a1a2
7、。同理,b1b2,c1c2。a1、b2、c1的公共点D在变换R(O,180)下的像D也是像a2、b1、c2的公共点,即a2、b1、c2三线也相交于一点。【例10】AD是ABC的外接圆O的直径,过D作O的切线交BC于P,连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证:OM=ON。【分析】设OO,NN,而MB,M、O、N三点共线,B、O、N三点共线,且。取BC中点G,连结OG、OG、DG、DB。OGP=ODP=90,P、D、G、O四点共圆。ODG=OPG,而由MNBN有OPG=OBG,ODG=OBG,O、B、D、G四点共圆。OGB=ODB。而ODB=ACB,OGB=ACB,OGAC,而G是BC的中点,O是BN的中点,OB= O N,OM=ON。黄牛试卷网