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1、向量的加法 教学设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明同时运用它们进行相关计算，这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解，也为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量在学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课
2、的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识在向量加法的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力在实际教学中，类比数的运算，向量也能够进行运算运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引
3、入的建议直接从位移的合成引入向量的加法运算，认真分析“从点A位移到点B，再从点B位移到点C，等效于从点A到点C的位移”这句话的含义这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上，同时还可以提醒学生注意，由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别这样做，有利于学生更好地把握向量加法的特点因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等三维目标1通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量2在探究活动中，理解向量
4、加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义掌握有特殊位置关系的两个向量的和3通过本节内容的学习，使学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力，初步体会向量内容与其他知识的交汇特点重点难点教学重点：向量加法的运算及其几何意义教学难点：对向量加法法则定义的理解课时安排1课时导入新课思路1.(复习导入)我们通过“位移”和“两点的相对位置”学习了向量概念现在要问，向量之间能否像数与式那样进行运算？如果可以进行某种运算，那么这些运算又将遵循什么样的运算法则？这一小节，我们要探索这些问题思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直
5、航，因此春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动：向北走20米，再向西走15米，再向东走5米，最后向南走10米，怎样计算他所在的位置？由此导入新课推进新课向量加法的三角形法则(1)数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？你能从位移的角度来加以说明吗？,(2)猜想向量加法的法则是什么？与数的运算法则有什么不同？活动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图1.如果一个动点由点A位移到点B，又由点B位移到点C，那么一定存在一个从点A到点
6、C的位移与两次连续位移的结果相同图1这时我们就说，动点从A到C的位移是动点A到B，再由B到C两次位移的和从位移求和，我们可以引出下述向量的加法法则：已知向量a，b(图2(1)，在平面上任取一点A，作a，b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则如图2(2)表示求两个平行向量和的特殊情况图2数的加法也启发我们，从运算的角度看， 可以认为是与的和，即位移、力的合成看作向量的加法讨论结果：(1)向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量求和的法则：1向量求和的三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作
7、a， b，再作向量，则向量叫做向量a与b的和，这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如图2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即An1An.2向量求和的平行四边形法则如图3，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和我们
8、把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法的物理模型3向量求和的多边形法则由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加以四个向量为例说明如下(图4)图3图4已知向量a，b，c，d.在平面上任选一点O，作a，b，c，d，则abcd.已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则向量求和的平行四边形法则(1)对于零向量与任一向量的加法，结果又是怎样的呢？(2)数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算.类似地
9、，向量的加法是否也有运算律呢？活动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有abba，(ab)ca(bc)任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索讨论结果：(1)对于零向量与任一向量，我们规定a00aa. (2)如图5，作a，b.如果A，B，C不共线，则ab.图5再看看ba等于什么作b，连接D，C，如果我们能证明a，那么也就证明了加法交换律成立由作图可知，b，因此四边形ABCD是平行四边形，这就证明了a，即加法交换律成立对于A，B，C共线的情况，
10、我们很容易验证，于是得到abba.如图6，因为()(ab)c，图6()a(bc)，所以(ab)ca(bc)综上所述，向量的加法满足交换律和结合律思路1例1如图7，已知向量a、b，求作向量ab.活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据它体现了向量起点的任意性在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连 图7 图8 图9作法一：在平面内任取一点O(如图8)，作a，b，则ab.作法二：在平面内任取一点O(如图9)，作a
11、，b.以OA、OB为邻边作OACB，连结OC，则ab.变式训练1化简：(1)；(2)；(3).活动：根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接，再运用向量加法的结合律调整运算顺序，然后相加解：(1).(2)()0.(3)0.点评：要善于运用向量的加法运算法则及运算律来求和向量.2.在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，且，则等于()A.B C. D解析：.答案：C例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图10所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有
12、效数字)；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度) 图10活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小)引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系解：如图11所示，(1)表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度图11 (2)在RtABC中，|2，|5，所以|5.4.因为tanCAB，由计算器得CAB70.答：船实际航行速度的大小约为5
13、.4 km/h，方向与水的流速间的夹角为70.点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：如图12，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，.AC与BD互相平分，图12，因此ABCD且|，即四边形ABCD是平行四边形点评：证明一个四边形是平行四边形时，只需证明或即可而要证明一个四边形是梯形，需证明与共线，且|.例3轮船从A港沿东偏北30方向行驶了40 n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 n mile到达C处，求此时轮船与A港的相对位置解：如图13，设、
14、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，.图13在RtADB中，ADB90，DAB30，|40 n mile，所以|20 n mile，|20 n mile.在RtADC中，ADC90，|60 n mile，所以|40 (n mile)因为|2|，所以CAD60.答：轮船此时位于A港东偏北60，且距A港40 n mile的C处思路2例1如图14，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)；(2)；(3).活动：教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量教师一定要让学生亲自动手操作，对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导图14解：(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故.(2)因，故与方向相同，长度为的长度的2倍，故.(3)因，故0.点评：向量的运算结合平面几何知识，在长度和方向两个方面作文章应深刻理解向量的加、减法的几何意义变式训练某人先位移向量a：“向东走3 km
