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1、直线系1平行直线系：与AxByC0平行的直线为：AxByC10(C1C)2垂直直线系：与AxByC0垂直的直线为：BxAyC103定点直线系：假设l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20相交，那么过交点的直线为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，交点为方程组的解直线系问题一、过定点的直线系设定点P(x0,y0)1、用斜率k作参数的直线系方程y-y0=k(x-x0)(不包括无斜率的直线)2、用A、B作参数的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全为0) 例：求经过P(1,2)的直线L,使点A(3,3)和B(5,2)到它的距离相等.思路一:设斜率k,用点斜式,再由点
2、距公式列方程,求k出即可.思路二:分类讨论设斜率k,用点斜式,当LAB时,由斜率相等可得k;当L过AB的中点时,把AB中点坐标代入L方程,可解得k.二、平行线系1、斜率是k的直线系方程y=kx+b (b为参数)2、平行于Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+=0 (为参数)3、垂直于Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0 (为参数)三、过两直线交点的直线系设L1: A1x+B1y+C1=0L2: A2x+B2y+C2=0m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m、n是参数)A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是参数但不包括L2)例：3a+2b
3、=1,求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标.思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a)代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0由, 得交点(1, )直线过定点(1, ).思路二：赋值法令a=0得b= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交点(1, )把交点坐标代入原直线方程左边得:左边=(3a+2b-1)3a+2b-1=0左边=0这说明只要3a+2b-1=0原直线过定点(1, ).例:求证:无论为何值,直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0与点P(-2,2)的距离d都小于4
4、.证明：将直线方程按参数整理得(2x-y-6)+(x-y-4)=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M易解得M(2,-2)求得|PM|=4所以d4而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0,又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0d4【注】此题假设按常规思路,运用点距公式求解,那么运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例、 1证明直线l过定点； 2假设直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程； 3假设直线不经过第四象限，求k的取值范围。 分析：1证直线系过定点，可用别离参数法。 2求
5、AOB面积S的最小值，应先求出目标函数Sf(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。 3直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点-2，1知斜率大于或等于零。 解：1直线l的方程是： 无论k取何值，直线总经过定点-2，1 2由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小结：此题证明直线系过定点问题所使用的“别离参数法，也是证明曲线系过定点的一般方法。例、P1，3，直线l：x4y101求过P且平行于l的直线l1的方程；2求过P且垂直于l的直线l2的方程策略：由l1l的斜率关系可得，由l2l的斜率关系得4，再利用点斜式方程
6、可求出直线l1，l2的方程由平行直线系与垂直直线系可以求出l1，l2的方程解法一：1直线l的斜率为且l1l，直线l1的斜率k1又l1过P1，3，l1的方程为y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直线l2的斜率为k24又l2过P(1，3)l2的方程为y34(x1)即4xy70解法二：1l1l且l方程为x4y10设l1的方程为x4yC0又P(1，3)在l1上143C0解得C11l1的方程为x4y110(2)l2l设l2的方程为4xyC0又l2过P1，3413C0解得C7l2的方程为4xy70评注：一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便例、求证：不管m为何实数，直
7、线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点，并求出此定点坐标策略：对于这类题目，只要找出两条相交的直线，然后解出交点坐标即可证法一：特殊值法当m1时，直线l的方程为y4；当m时，直线l的方程为x9；两直线的交点为9，4，满足直线l的方程(m1)x(2m1)ym5不管m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点9，4证法二：直线系法将方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程组得不管m为何实数，定点(9，4)恒满足方程(m1)x(2m1)ym5即不管m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点9，4评注：求某直线过定点的题目，常用的两种方法特殊值
8、法和直线系法例、求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程策略：可以先解方程组求出交点P，再利用ll3求出斜率，用点斜式求l方程；求出P点后，用垂直直线系求l方程；先由过l1，l2的交点的直线系设出l方程，然后由l3l求系数解法一：解方程组得交点P0，2k3kl由点斜式得l：y2x即4x3y60解法二：设所求直线l：4x3yC0由解法一知：P(0，2代入方程，得C6l：4x3y60解法三：设所求直线l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程为：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60评注
9、：解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算利用直线系解题一、直线系的定义1、 共点直线系方程经过两直线的交点的直线系方程为2、 平行直线系方程与直线3、 垂直直线系方程与直线二、利用直线系解题例题：(一)直接应用1、 求过点A(1，-4)且与直线平行直线方程。(课本第45页例2) ()2、 求过点A(2,1)，且与直线垂直的直线方程。(课本第46页例4) ()3、 求经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程。(课本第54页第11题第1小题)( )4、 经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程。(课本第54页第11题
10、第2小题)( 5、 经过直线和的交点，且垂直于第一条直线的直线方程。(课本第54页第11题第3小题)( )6、 求平行于直线且与它的距离为的直线方程。(课本第87页第13题) (或 )(二)间接应用7、 当a为任意实数时，直线恒过的定点为_。解：直线的方程可以化为，由直线系的定义我们知道：直线过的点是方程组 的解，这样我们就可以知道直线过点(-2,3)。8、圆C：及直线证明：无论m为任何实数，直线恒与圆C相交。分析：判断直线与圆的位置关系通常采用“法，或“比 较d与r法“，特别是“法运算量往往很大，当发现直线过定点，且此定点又在圆内部时，妙解应运而生。 证明：易证直线过定点M(3,2)，且4，即点M在圆C内，点M又在直线上，故不管m为任何实数，直线与圆C相交。9、a、b满足什么条件时，使得对于任意实数m,直线： 与曲线C：总有公共点。分析：此题虽然可以用“法来解，但不仅运算量大(两次使用判别式)，而且还容易无视对二次不等式系数的讨论而造成失解，如果利用直线过定点(0，b)，并使该点在椭圆C上或在其内部便可到达目的。解：易知直线：过点M(0，b)，欲使与椭圆C恒有公共点，须使点在椭圆C上或在其内部，于是有即时，对于任意实数m,直线与椭圆C恒有公共点。
