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1、数学证明和理性精神也谈数学证明的教学价值张乃达【专题名称】中学数学教与学【专 题 号】G35【复印期号】2003年06期1关于数学证明的教育价值最近从网上看到题为数学证明的教育价值1的文章，文章中引用了许多数学家的论述，认为随着“数学证明”的意义的发展和演变，数学的证明（演绎的证明）已经不能对数学结论的正确性做出逻辑上的保证.因此，数学证明的教育价值也在改变，文章说：数学证明的真谛不在于能证明命题真假，而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解，并能导致发现，因此这就突破了传统教学中对数学证明的观念.特点是由于计算机介入了证明之中，用机器证明产生定理（如四色问题等），所以人们不再以逻辑推理作为证明
2、数学命题的惟一手段，于是提出“实验证明”的想法，即实验也应该成为判断数学命题的真假的一种手段.人们不再一味地追求证明所得出的结论，而在于通过证明的过程去追求对数学知识的真正理解.根据这样的认识，文章认为对数学学习来说，数学证明的教育价值主要体现在如下的几个方面：（1）通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；（2）通过证明，训练和培养学生的思维能力（包括逻辑的和非逻辑的思维）以及数学交流能力；（3）通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；（4）通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识.”接着文章得到了下面的结论：根据以上观点，我们
3、在数学教学中应该重视非逻辑证明的教学；适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间，加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用.这里需要注意的是要合理选择学生能够接受的逻辑证明与非逻辑证明的方法，强调一种、排斥另一种证明方法都会妨碍学生对数学的认识与理解.应该说文1是一篇既精彩又有启发性的文章.文章的分析是深刻的，结论是有指导意义的.特别是证明具有发现的价值，证明有助于进行数学交流的观点，都是很有见地的，也正是被很多人忽视的.但是我觉得，文章在论述证明的教育价值时，也存在着重大的疏漏.其中最突出的就是没有提到数学证明在培养学生的理性精神方面的巨大价值！而这一点恰恰应该是数学
4、证明的教育价值的最重要的方面，也是设计和组织数学证明教学的出发点！2对数学教育价值认识的误区忽视数学文化的教育功能，是造成文1疏漏的主要原因.数学文化教育观念是从历史的、社会的角度即文化的角度来看待数学教育的.它体现了一种新的价值观.它认为数学文化的教育价值集中地体现于数学观念之中，特别是体现于数学所承载的理性探索精神之中.因此，数学教育要把发展学生的数学观念，培养学生的理性探索精神当成一项重要的目标.2对数学文化教育价值认识的最大误区在于忽视数学精神的教育功能.有不少人在论及数学文化的价值时，要么根本无视数学对人类精神方面的巨大作用，而仅仅关注数学在知识层面上的应用和数学对人类物质生活所带来
5、的影响；或者仅仅注意数学文化对思维方式的影响，而忽视数学精神的（它集中地表现为理性探索精神）的教育功能.所有这一切都是片面而肤浅的认识.克莱因把数学看成是“一种精神，一种理性精神，”齐民友先生则进一步地认定数学精神集中地体现为“彻底的理性探索精神”，特别强调数学文化对人类精神生活的重大影响.他说：“数学深刻地影响人类的精神生活，可以概括为一句话，就是它大大地促进了人类的思想解放，提高与丰富了人类的整个的精神水平，从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力量的人.”4所有这些，都可以看成是对上述片面认识的批判.3理性精神的基本内涵理性精神，它首先表现为一种信念，表现为对真理的追求.它相信
6、自然是可以被认识的，因此它反对愚昧与迷信，反对神秘的不可知主义，它认为每个人都有认识世界的天赋，都可以认识世界.其次，理性精神坚持以理性（或理智）或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准.这可以看成是理性精神的基本内涵.3对数学文化中的理性精神齐民友先生做出了如下的精辟论述，他说：“每个论点都必须有根据，都必须持之以理，除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令，流行的风尚统统是没有用的.这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜宇宙和人类的真面目是什么？是人类文化发展到高度的标志.这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文化背景，反
7、过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一.”4当然，随着时代的发展，理性精神的内涵也在改变，当今也有人对理性的意义做出了新的解释，但是不论怎么说，理性的基本的意义却没有变化.4数学证明规范是理性探索精神的产物文1引用了R.Wilder（怀特）的话：“我们不要忘记，所谓证明不只在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义.”“很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派.”怀特正是从历史的角度看待数学证明的.从历史上看，希腊数学所采用的公理化的方法和演绎的证明，并不是数学研究的唯一可行的理论形态.他们之
8、所以坚持对数学提出如此严格的要求，完全是应对他们文化中所固有的理性精神的强烈诉求的结果，是由于他们对数学在文化中的地位和价值取向定位的结果.因为希腊人一直把数学看成是哲学的一部分，享有十分崇高的地位，把数学看成是一种精神层面的东西.正是这个原因，希腊的数学和西方的数学在他们的文化中占有十分重要的地位，从而对整个文化的发展产生了巨大的影响.与之不同的是我国古代的数学.它是在缺乏理性精神的实用主义的文化背景下发展起来的.在中国的文化中，数学一直被看成是一种技艺，一种实用的工具，从来没有人从精神的层面上，对数学进行哲学的思考，也从来没有人赋予数学以如此重要的地位.因此，以解决实际问题为主要课题的中国
9、古代数学是不可能像希腊数学那样对演绎证明提出严格要求的，也不可能形成公理化那样的理论形态.它只能在技艺的层面上发展，只能采用直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发展方法、实现推理.正是这样的原因，一方面，中国古代数学就不可能具有像希腊数学那样精神层面的教育价值；另一方面，数学在中国的文化中，也从来没有取得过它在西方文化中的地位！但是，历史做出了选择，希腊人的数学成为现代数学的源头和主流，直到现在为止，数学证明必须是演绎的证明，这仍然是数学证明的规范.这种证明规范的确立，正是理性探索精神的胜利！也是数学对人类文化发生重大影响的决定性因素.为了让读者对此有更为清晰的认识，建议读者认真地读一
10、读齐民友先生的力著数学与文化.在该书的结尾，齐先生对全书作了精彩的总结，从这里也可以看到演绎的公理化的证明对数学发展和对人类文化发展的影响：在本书结束的时候，我们不妨再从反面来看一下数学发展的历史.如果不是这样一种探索的精神支持，数学将是什么样，人类社会又将是什么样，那时，或者人们不去研究数学而任数学与占星卜卦混在一起，成为徐光启说的“妖妄之术”，或者，人们研究数学只是为了解决眼下的实际问题，至于更深层次的问题，不但谈不到解决，甚至无法提出，因为在这本书里我们已经看得很清楚没有相当的数学知识，根本不可能从更深的层次上反映人类的实践活动所带来的问题.那样的话，一切深刻的问题都只好交给徐光启所说的
11、“士苴天下之实事”的“名理之儒”.于是，我们不会有欧几里德，因为几何原本上讲的几何定理大部分还是可以摸得着的，可以凭直接经验知其为真的；就解决眼下的问题而言，承认这些定理也就行了，不需要写什么几何原本.这样，我们就还不断地徘徊，不知道到了什么时候，人们才感到了有必要把自己的知识整理成有系统的体系，直到那时人们才能在认识宇宙上前进一步.我们也不会有非欧几何.因为即令人们终于找到另一个方法不一定是公理方法整理自己的数学知识，也不会对平行线公理有什么怀疑.没有非欧几何，自然也就没有相对论，没有全部现代的物理学以及以之为基础的全部现代技术.那样也不会有全部关于数学基础的研究，不会有形式系统这样的思想，
12、不会有哥德尔定理，同样也不会有计算机.更重要的是，没有人类理性思维的高度发展，人的精神状态会是什么样呢？总之，可以毫无疑问地说，没有现代数学就不会有现代文化.”我十分赞同齐先生的见解，先生的这段话，同样证明了如果没有理性的探索精神，也就不会有现代数学！当然也不会有现存的数学证明的规范.了解了这一点，就可以理解尽管随着数学的发展，数学证明的内涵和规范是可能改变的（而且已经改变或者说“发展”）.但是，应该相信，这些改变同样是理性探索的结果，而且也是理性探索活动的需要（这一点正是热衷于探讨数学证明的意义的数学家的出发点）.因此，可以说理性探索活动永远是数学不变的追求！数学证明所蕴含的理性探索精神是永
13、远不会消失的，数学证明对学生进行理性精神教育的价值也是不会消失的.5数学证明：理性精神的启蒙教育在文2中，我已经引用过爱因斯坦的自述，谈到了他学习欧几里德几何的感受.爱因斯坦称欧几里德几何是逻辑体系的奇迹，取得了令人赞叹的胜利.他说：正是这种“逻辑体系的奇迹，推理的这种可赞叹的胜利，为人们的理智获得了为取得以后的成就所必须的信心.”数学家，哲学家罗素也提到过他学习欧氏几何的经历，他说：“我在11岁的时候，开始学习欧几里德几何，并请我的哥哥教我.这是我一生中的大事，他使我像初恋一样入迷.我当时没有想到世界上还会有这样迷人的东西.”上面的叙述清楚地表明，不论是爱因斯坦还是罗素，在几何的学习中，使他
14、们终身难忘的恰恰是几何的演绎体系；使他们受到震撼的也正是逻辑的魅力和力量.正是欧氏几何中的数学证明，使爱因斯坦树立了对人类理智的信心！使几何成了少年罗素的“初恋情人”！可以说，他们正是从欧几里德几何中接受了理性精神的启蒙的.这充分地证明了演绎证明所具有的教育价值.因此，我是这样认识几何教学的文化教育的价值的.平面几何的教学价值，不仅仅表现为几何知识的价值和思维训练的价值.平面几何的教学价值最集中地表现为促使平面几何的公理化的知识结构得以形成的探索精神之中.因此应该把培养学生的求真意识当成平面几何教学的首要任务.具体地说，在几何教学中对推理能力的要求可以因人而定，可高可低，但是却必须使每一个学生
15、无一例外地感受到数学文化中的理性精神，感受到这种精神的巨大力量，进而激发起他们探索真理的强烈愿望，从而以各种各样的形式投身到探索活动中去.26数学证明是理性探索活动中的重要环节数学证明的各项教育价值，包括理性精神的教育价值，只有在学生的探索活动中才能得到整合和发挥.离开了理性探索活动，数学证明的教学就丧失了价值.传统的证明教学，把证明孤立于探索活动之外，把证明看成一个结果，这不仅不利于知识的学习，而且也无助于理性精神的发展.因此，在教学中应该把证明看成是一个过程，一种活动，看成是探索活动中的一个重要环节.要重视提出问题、提出猜想、验证猜想的过程，并在这个过程中充分发挥观察、联想、类比、归纳、实验、反思等等手段的作用，再在这个基础上寻求演绎的证明，并通过尝试证明的过程，对已有的猜想作出反馈，并据此进行调控.在证明中，要重视证明思路的探求过程，在证明后，要对证明的过程进行反思，以达到对证明的理解.应该指出的是，必须把猜想、验证和数学证明严格地区分开来，一方面让学生体会到数学演
