《数列中奇数项、偶数项求和练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列中奇数项、偶数项求和练习（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、张新数列求和解答题(共7小题)1.已知数列a 满足奇数项a , a，成等比数列a (n g N )，而偶数项a , a , a ,n132 n-1+246.成等差数列a (n g N)，且 a = 2 , a = 1 , a + a = a , a + a = a，数列a 的前 n2n12243465n项和为 S .n(I) 求 a ;n(II) 当a a时，若2nb = S，试求b的最大值.1 3n 2nn2 .已知数列a 的前n项和为S，a = 1， S = a -1，在数列b 中，b = 1，且 nn1n n+1n1b +b=3n+1 .nn+1(1) 求数列a ，b 的通项公式;nn(
2、2) 求数列ab 前2n项中所有奇数项的和T .n nn3. 已知数列a 的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列,n数列a 的前n项和为S，且a = 2S ， a + a = a .nn63235(I) 求数列a 的通项公式；n1(II) 令b =，求数列b 的前n项和T .n a annn n+ 24. 正项数列a 中，a = 1，奇数项a ， a ， a，a ，构成公差为d的等差数列, n11 3 52k -1偶数项a ， a ， a，a，构成公比q = 2的等比数列，且a ， a ， a成等比数2462k123列， a ， a ， a 成等差数列.457(1)求
3、a和d ；2(2)求数列a 的前2n项和S .n2n5. 已知正项数列a 的奇数项a，a，a，a ，构成首项a = 1等差数列，偶数项 n1 3 52k -11构成公比q = 2的等比数列，且a ， a ， a成等比数列，a ， a ， a成等差数列.1 23457(I) 求数列a 的通项公式；n(II) 求数列a 的前2n项和S .n2 nr ,赂知 、”口1 a + n（n为奇数）6. 已知数列a 满足：a = 1 , a = 2 nn1W+1 a - 2n C为偶数）n1）求 a ， a ， a ， a ；2345(2) 设b = a + 4n - 2 , n g N*,求证：数列b 是
4、等比数列，并求其通项公式;n 2 n+1n(3) 求数列a 前100项中的所有奇数项的和S .n7. 已知数列a 满足 a = 3， a + a = 4n(n22)n1nn-1(I) 求证：数列a 的奇数项，偶数项均构成等差数列；n(II) 求a 的通项公式；n1(III) 设b =，求数列b 的前n项和S .n a annn n +1张新数列求和参考答案与试题解析一解答题(共7小题)1.已知数列a 满足奇数项a , a，成等比数列a(n g N )，而偶数项a , a , a ,n132 n-1+246.成等差数列a (n g N)，且 a = 2 , a = 1 , a + a = a ,
5、 a + a = a，数列a 的前 n2n12243465n项和为 S .n(I) 求 a ;n(II) 当a a时，若2nb = S，试求b的最大值.1 3n 2nn【分析(I)设等比数列a 的公比为q，等差数列a 的公差为d，由已知列关于q与2 n -12 nd的方程组，求解可得q与d的值，然后分类求解数列的通项公式.(II)当a a时，由(I)得，为a = 2 2，n为奇数，求得s，进一步求得b，再由作1 3n n - 1,n为偶数2 nn差法及数列的函数特性求b的最大值.n【解答】解：(I)设等比数列a 的公比为q，等差数列a 的公差为d，2 n -12 n由 a + a = a ，2
6、43a + a = a465得 j1 +(1 + d) = 2q得 (1+ d) + (1+ 2d) = 2q 2解得q=2d=2q=1 d=0 当 时，a = 2 2 ， a = 2n 一 1,d = 22n-12 n即数列的通项公式为a =j2芍,n为奇数； n n - 1,n为偶数 当 j时， a = 2 ， a = 1 ，I d = 02 n-12 n即数列的通项公式为a =,n为奇数(II)当a a时，由(I)得，为a訂2 2 ,n为奇数,13n n - l,n为偶数“, Sn2 + 2n+1 - 2S = S + S = n2 + 2n+1 2 ,b = 2n =2n 奇 偶n 2
7、n2n(n +1)2 + 2n+2 - 2 n2 + 2n+1 - 24 - (n -1)2b b =n+1 n2n+12n2n+1. b b b = b ，1234且当n24时，b b .n+1n综上所述，b的最大值b = b = 一 .n348【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用数列的函数特性求数列的最值，是中档题2 .已知数列a 的前n项和为S， a = 1， S = a -1，在数列b 中，b = 1，且nn1n n+1n1b +b = 3n+1 n n+1（1）求数列a ，b 的通项公式；nn（2）求数列ab 前2n项中所有奇
8、数项的和T .n nn【分析（1）根据数列的递推公式即可求出数列a ，b 的通项公式, nn（2）根据错位相减法即可求出.【解答】解：（1） T S = a -1，nn+1S = a -1，两式相减得a = 2a ，n+1 n+2n+2n+1乂 a = 1， a = S +1 = 2，1 2 2. a 是首项为1，公比为2的等比数列，n. a = 2 n -1 ，nb + b = 3n +1， b + b = 3（n 一 1） +1， n22，n n+1n n+1两式相减得b - b = 3，必2，n+1 n-1又 b = 4 - b = 3，21.b 是首项为1,公差为3的等差数列，b =
9、3n - 22 n-12 n-1b 是首项为3,公差为3的等差数列，b = 3n ,2 n2 n -1出二1, n为奇数b23n一,n为偶数2(2 (2)令C = ab , C前2n项中所有奇数项的和T .nn nnn贝9 T = 1x 2o + 4 x 22 + 7 x 24 +.+ (3n 一 2) x 22n-2， n4T = 1 x 22 + 4 x 24 + 7 x 26 +.+ (3n - 5) x 22n-2 + (3n - 2) x 22n ,n4x(1- 4n-1) -T = 1 + 3(22 + 24 + 26 +.+ 22n-2) (3n 2) x 22n = 1 + 3
10、 x ( )(3n 2) x 4n =-1 + (1-n)4 n n1- 4T = 1 + (n - 1)4nn【点评】本题考查了数列的递推公式和错位相减法,考查了运算能力和转化能力,属于中档 题3. 已知数列a 的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列,n数列a 的前n项和为S，且a = 2S , a + a = a .nn63235(I) 求数列a 的通项公式；n1(II) 令b =，求数列b 的前n项和T .n a annn n + 2【分析】 设数列a 的奇数项的公比为q，偶数项的公差为d .由已知a = 2S , n63a + a = a，可得 d = 4 ,
11、235I a = 1 q = 2，i 1 2I a = 22可得n为奇数时，a = 2 2nn 为偶数时，(II)由(I)知n 为偶数时=(1 + 丄 +223n+1丄)+丄(1 b+d丄)+(丄2n-1833 5n -1七)n+1T = T - b =19-1nn+1n+124 3 x 2n 8(n + 2)4n(n + 2)【解答】解：（I）设数列a 的奇数项的公比为q，偶数项的公差为d . na + 2d = 2(a + a + a q)由已知 a = 2S ， a + a = a ，得： s 212163235Ia +aq=aq22 1 11 分）16a + a = 8 小/口 I a
12、 = 1/. d = 4 , q = 2 , :. 12 ，解得：s 1I a = 2aI a = 22 1 23 分）n 为奇数时， a4 分）n 为偶数时， ann=a2 + (厂 1)d = 2 + (厂 1) X 4 = 2n - 2 -5 分）=2芍,n为奇数6 分）2n - 2, n为偶数2-nn为奇数(II)由知b =n4 （n - 1）（n +1），为偶数7 分）8 分）8 (n -1n为偶数时，T=(丄亠+丄)+8(1-3)+(3-5)+专1 n+1232n-11)11 n尹-(4)2+1(1-丄)=198n + 124 3 x 2n-1 8(n + 1)10 分）n 为奇数
13、时，T = T - b =19 -n+1n+124 3 x 2n 8(n + 2)4n(n + 2)19 1243 x 2n8n12 分）19 119 1 1,n为奇数14 分）、243 x 2n 8n点评】本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大解题时要认真审题，仔细解答4. 正项数列a 中，a = 1，奇数项a , aa，5a ，构成公差为d的等差数列,2k-1n113偶数项a , a , a，a，构成公比q = 2的等比数列，且a , a , a成等比数2 4 62 k1 2 3列， a ， a ， a 成等差数列4571）求 a 和 d ；2（2）求数列a 的前2n项和S n2 n【分析】（1）根据a = a和等差数列、等比数列的性质计算;342）分别对等差数列和等比数列求和即可【解答】解：（1） T a ， a ， a成等差数列，a ， a ， a成等差数列,3 57457/. a = a ，34/. a ， a ， a 成等比数列，/. a = a q = 2，
