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1、第 1 页（共 16 页）2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x |x=3n+2 ，n N，B=6 ，8 ，10 ，12 ，14，则集合 AB 中元素的个数为( )A 5 B 4 C 3 D 22 （5 分）已知点 A（0 ，1）， B（3 ，2），向量= (4 ，3），则向量= ( )A . (7 ，4） B （7 ，4） C . (1 ，4） D （1 ，4）3 （5 分）已知复数 z 满足（z1）i=1+i，则 z= ( )A . 2i B .
2、2+i C 2i D 2+i4 （5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从 1 ，2 ，3 ，4 ，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A B C D . 5 （5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：y2=8x 的焦点重合， A ，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|= ( )A 3 B 6 C 9 D 126 （5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依 垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处
3、堆放米（如图， 米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆 放的米各为多少？“ 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛7 （5 分）已知an是公差为 1 的等差数列， Sn 为an的前 n 项和，若 S8=4S4 ，则 a10= ( )A B C 10 D 128 （5 分）函数 f（x ）=cos ( x+)的部分图象如图所示，则 f（x ）的单调递减区间为( )A （k , k+）， kz B （2k , 2k+）， kzC （k , k+），
4、 kz D （ ，2k+）， kz9 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= ( )A 5 B 6 C 7 D 8第 2 页（共 16 页）10 （5 分）已知函数 f（x ）=，且 f（a ）=3，则 f（6a）= ( )A . B . C . D . 11 （5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 16+20,则 r= ( )A 1 B 2 C 4 D 812 （5 分）设函数 y=f（x ）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=x 对称，且 f(2）+f(4
5、）=1，则 a=( )A . 1 B 1 C 2 D 4二、本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）在数列an中， a1=2 ，an+1=2an ，Sn 为an的前 n 项和，若 Sn=126，则 n= .14 （5 分） 已知函数 f（x ）=ax3+x+1 的图象在点（1 ，f（1） ）处的切线过点（2 ，7），则a= .15 （5 分）若 x ，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为 .16 （5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0 ，6后）当APF 周长最小时，该三角形的面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程
6、或演算步骤.17 （12 分）已知 a ，b ，c 分别是ABC 内角 A ，B ，C 的对边， sin2 B=2sinAsinC .()若 a=b，求 cosB；()设 B=90,且 a=，求ABC 的面积.18 （12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD .()证明：平面 AEC平面 BED；()若ABC=120 , AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积.第 3 页（共 16 页）19 （12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元） 对年销售量 y（单位：t ）和年利润 z（
7、单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1 ，2 ， , 8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（xi ) 2（wi ) 2（xi )（yi )（wi )（yi )46.65636.8289.81.61469108.8表中 wi=后i ，=() 根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()根据()的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；()已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx 根据()的结果回答下列问题：（i）
8、年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（ u1 v1 ），（ u2 v2 ） .（ un vn ），其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 下= ，= .20 （12 分）已知过点 A（0 ，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 交于点 M、N 两点.（1）求 k 的取值范围；（2）若 =12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.21 （12 分）设函数 f（x ）=e2xal nx .()讨论 f（x ）的导函数 f（x ）零点的个数；()证明：当 a0 时， f
9、（x ）2a+aln .四、请考生在第 22 、23 、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修 4-六、【选修 4-5：不等式选讲】1：几何证明选讲】24 已知函数 f（x ）= |x+1|2|xa|，a0 .22 （10 分）如图， AB 是O 的直径， AC 是O 的切线， BC 交O 于点 E .()当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；()若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是O 的切线； ()若 f（x ）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.()若 OA=CE，求ACB 的大小.五、【选修 4-4：坐标系与参数方程】23 在
10、直角坐标系 xOy 中，直线 C1 ：x=2，圆 C2 ：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求 C1 ，C2 的极坐标方程；()若直线 C3 的极坐标方程为 = (R），设 C2 与 C3 的交点为 M ，N，求C2 MN 的面积.第 4 页（共 16 页）第 5 页（共 16 页）2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x |x=3n+2 ，n N，B=6 ，8 ，10 ，12 ，14，则
11、集合 AB 中元素的个数为( )A 5 B 4 C 3 D 2【考点】1E：交集及其运算.【专题】5J：集合.【分析】根据集合的基本运算进行求解.【解答】解： A=x |x=3n+2 ，n N= 2 ，5 ，8 ，11 ，14 ，17 ， ，则 AB=8 ，14，故集合 AB 中元素的个数为 2 个，故选： D .【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2 （5 分）已知点 A（0 ，1）， B（3 ，2），向量= (4 ，3），则向量= ( )A . (7 ，4） B （7 ，4） C . (1 ，4） D （1 ，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算.【专题】5A：平面向量及应用 .【分析】顺序求出有向线段，然后由 =-求之.【解答】解：由已知点 A（0 ，1）， B（3 ，2），得到=（3 ，1），向量= (4 ，3），则向量=-= (7 ，4）；故选： A .【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒.3 （5 分）已知复数 z 满足（z1）i=1+i，则 z= ( )A . 2i B . 2+i C 2i
