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1、 . 二项分布【知识点】1. 次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立2. 次独立重复试验的概率：一般地，事件在次试验中发生次，其有种情形，由试验的独立性知在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为3. 二项分布:在上公式中，若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是.其中于是得到的分布列01.各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布,记作4.离散型随机变量的数学期望一般地,设一个离散型随
2、机变量所有可能取的值是这些对应的概率是,则叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望.5. 二项分布的数学期望:【经典例题】【例1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天）频数频率合计（）根据频率分布表中的数据，写出的值；（）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值； （）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人
3、所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.1、【答案】（）解：，. （）解：由表可知：灯泡样品中优等品有个，正品有个，次品有个，所以优等品、正品和次品的比例为. 所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为 （）解：的所有取值为. 由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为， 从本批次灯泡中购买个，可看成次独立重复试验，所以，. 所以随机变量的分布列为：所以的数学期望【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮（）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望；（）求乙至多投中次的概率；（）求乙恰好比甲多投进次的概率2.【答案】解
4、：（）的可能取值为： 的分布列如下表： （）乙至多投中次的概率为 （）设乙比甲多投中次为事件A，乙恰投中次且甲恰投中次为事件，乙恰投中次且甲恰投中次为事件，则为互斥事件 所以乙恰好比甲多投中次的概率为 【例3】某商场一号电梯从1层出发后可以在层停靠.已知该电梯在层载有位乘客，假设每位乘客在层下电梯是等可能的.() 求这位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的概率；() 用表示名乘客在第层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.3【答案】解：() 设位乘客中至少有一名乘客在第层下电梯的事件为, 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，则 . () 的可能取值为 由题意可得每个人在第层下电梯的概率均为
5、，且每个人下电梯互不影响，所以，. . 【易错题】【例1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过ppm（）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望1.【答案】解：（）记“条鱼中任选条恰好
6、有条鱼汞含量超标”为事件，则，条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为. （）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率， 可能取，. 则 ，其分布列如下：所以. 【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，.（）求直方图中的值；（）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于
7、分钟的概率）2、【答案】解：（）由直方图可得：.所以 . （）新生上学所需时间不少于小时的频率为：， 因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. （）的可能取值为. 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, ,. 所以的分布列为：.（或）所以的数学期望为. 【例3】国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下： 根据以上信息，解决下列问题：（）写出下面频率分布表中的值；（）某人计划今年月份到此城市观光天，若将（）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用表示，求的分布列和均值.频
8、率分布表分组频数频率合计3.解：（）, （）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=， . 的分布列为: , . 【例4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格教育部门在全市随机抽取位学生参加社区服务的数据，按时间段，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的位学生中，参加社区服务时间不少于小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于小时的概率；组距频率0.0050.07575808590950.0201000.0400.060服务时间/小时O（）从全市高中学生（人数很多）中任意选取位学生，记为位学生中参加社区服务时
9、间不少于小时的人数试求随机变量的分布列和数学期望4.【答案】解：（）根据题意，参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）所以抽取的位学生中，参加社区服务时间不少于小时的学生人数为人所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于小时的概率估计为 （）由（）可知，从全市高中生中任意选取人，其参加社区服务时间不少于小时的概率为由已知得，随机变量的可能取值为所以；随机变量的分布列为 因为 ，所以 【课后测试】1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（）
10、求甲以比获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（）求比赛局数的分布列.1.【答案】（）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 记“甲以比获胜”为事件，则 （）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.因为，乙以比获胜的概率为， 乙以比获胜的概率为， 所以 （）解：设比赛的局数为，则的可能取值为 ， ， ， 比赛局数的分布列为：HCA1A2B1B2L1L2A32.张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，（）若走路线，求最多遇到次红灯的概率；（）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由2、【答案】解：（）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则 所以走路线，最多遇到次红灯的概率为（）依题意，的可能取值为 ， ， 随机变量的分布列为： （）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以 因为，所以选择路线上班最好 3.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据
