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1、立体几何中点到直线的距离一道例题引发的思考作者： 孙军波 浙江省温州中学关键词：立体几何，点到直线，距离，教育随笔，案例摘 要：立体几何中向量的使用是近几年所推广的，当初推广这一工 具的目的是使几何问题简单化。过了几年，这样的目的是否实现 了呢？在我上的一节课上所发生的事也许能给你一些思考，一些 答案！一、正 文在新课标下，随着教学改革的深入，“向量”在几何 解题中地位日显重要。但传统的几何方法又是我们习惯使用 的，尤其我们教师在接受这一块知识时本身也是在几何方法 的大环境下熏陶出来的，对向量的作用及其能否在几何中发 挥强大的威力，本身也存在疑问，对于学生能否熟练掌握并 运用好这一块知识心里真
2、的没底。今天我在一节课上无意中 一个问题让我有了一个新的认识：例题：正方体ABCD - ABC D边长为3, 已知F,G为线段A 9 ； CD上的点且满足 A F:FD =1:2,D G:GC =1:2, 求点B到直线FG的距离FCDB传统的解法是 利用三垂线定理，过 B B作BH丄FG 于 H 连接 BH ，则 BH 就是我们要的点 B 到直线 FG 的距 离，关键是求出 bbh的长度。的一种窘景。但是我们在求解B的时候把 它习惯性的放到三角形中去求解， 自然而然地我们把它放在VBfFG研 究。问题出来了，此时如果用余弦 定理求解，就变成了看得到吃不到既然要求角，那向量也可以帮我们解决这一问
3、题。然后我打算提供精编中对这一问题的解法提供的是利用向量正射影的作法。引导他们出现这个知识。解:使用向量的正射影G利用BF的长度比较好求通过RTVBAF 可得BF为府如果我们能够解决ZBFH 问题就可迎刃而解，通过uuur uuur uuur uuurFBgFGcos ZBFG = cos = uur_uur 在计算一下它的正弦1 FB11 FG1值，则BH = BF sin ZBFH，原本我认为这节课到这就差不多了。但是学生的想法却出乎我的意料。他们立刻举手提出了不同的见解：既然用向量那我是不是可以做”朱捷健，“点 F，G可以用坐标非常快的表示出来，那点 H 的坐标如果能求出来，直接利用B和
4、H的坐标求解不是也可以吗？我的解法是这样的”。解：建立坐标系以D为原点，F （2, 0，3），G（0，1，3）, uuurB（3，3，0）设ST =九.H 2，九，3）HG1+Xuuur uuur 1再利用FG gBH = 0解得九=-814H83）.BH =（7）+（）+ 32 = J4705 5V 555漂亮的解法，大家看我们向量的做题很不错吧，我刚想再乘机鼓吹一下向量的做法，立刻又有学生站了起来。“老师，用几何法作，也不难，你不是想求BH我们可以这样做啊，”温正禹。在上表面上建立直角坐标系：则 FG 的直线方程不是x + _y = 1点Bf (3, -3)到直线的距离不是很好解决吗？！2
5、这种做法比较新颖，那还有没有别的招啊！卢缇 我们也可以用面积的方法求BH的长度，你看:而VBFG的面积可以通过正方形减去那三个三角形面积快并且很好算！由于时间的关系学生讲到这里的时候已经下课了，布置的给学生的任务是归纳总结上课学到的东西还有没有其他的方法！二、感 想课后问学生得到的结论是几何法不好想但方便一点，而 向量法可以套公式而学生则担心容易算错了，前功尽弃！上 完这节课后我久久不能平静，对学生禁不住感到佩服！学生 的想法都非常漂亮，比我设计的要好的多！虽然没有按我事 先设计的完成，但这样的意外让我觉得非常好！尾声向量法使得解题对学生的空间想象能力的要求降低了， 极大地提高了高考中立体几何的得分率！对我们高考而言是 很有力的。空间图形的问题全部用笔把它算出来，也把数学 的立体美也淡化了。对学生而言他们有些人喜欢几何的方 法，有些人喜欢向量的做法我不知道该倾向哪种，我想看 完本文的你也许会有些想法，希望有机会可以交流一下。 参考文献1 新课程理念下中学数学教学课堂教学案例的选择与撰写-何豪明-中学数学教学参考 （2005 年第 9 期）2 数 学 高二（下 B）人民教育出版社3 新课程新精编高中数学第二册下 B浙江教育出版社
