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1、1.高手总结总结一下二重积分,三重积分,还有曲线积分,曲面积分它们我之前回答过，也有一份存档。 满意请采纳，都是自己的经验。我从头说起吧，从基本的一元积分说到第二类曲面积分。关于重积分的算法：一重积分(定积分)：只有一个自变量y=f(x)当被积函数为1时，就是 直线的长度(自由度较大)J (aTb) dx=L (直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面 积(规则)J (aTb) f(x)dx=A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(DiscMethod):V= nJ (aTb)f2 (x) dx 圆壳法(ShellMethod):V=2 nJ (aTb) xf(x)d
2、x计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了 J (aB)(1/2)A (e)2de=A (极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z=f(x,y)当被积函数为1 时，就是面积(自由度较大)J (aTb)J (cTd)dxdy=A (平面面积)当被积函数不为1时, 就是图形的体积(规则)、和旋转体体积J (aTb)J (cTd)dxdy=V (旋转体体积)计算方 法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：x=rcos ey=rsin e a e 最大范围：0e2nJ (aT) J (hTk)f(rcos e， rsine)rdrd e三重积分：有三个自变量u二 f(
3、x,y,z) 被积函数为 1 时，就是体积、旋转体体积(自由度最大) J(aTb) J(cTd) J(eTf) dxdydz=V (旋转体体积)当被积函数不为1 时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法 有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(切 片法)：x=rcos ey=rsin ez=za z b0 r z t a e B、最大范围：0enJ(aTb) J (aTB) J (Otzi) f(rcos e， rsine， z)rdrd edz 特别地，当 f(x,y,z)可表达为 f(z)时、 有JJJQdxdydz二 J (ab)f(z) JJD
4、zdxdydz= J (aTb) f(z)(横截面 Dz 的面积)dz 横截面 Dz 的面积的表达式是关于 z 的函数。极坐标变化(柱坐标)： x=rcos ey=rsin ez=zh r k a e B、最大范围：0e2nJ (aB) J (hk) J (ztTz2) f(rcos e， rsine， z)r dzdrde 极坐标变化(球坐标)：x=rsin 申cosBy二rsin 申sinBz二rcos 申h r ka 申 b、 最大范围：0naeB、最大范围：0e2nJ (aB) J (ab) J (hk) f(rsin申cose，rsin申sine，rcos) sin?申drd申de重
5、积分都可以利用对称性来化简：对于一重 积分：若被积函数关于y轴对称。则J (-a a) f(x)dx=0，若 f(x)关于 x 是奇函数2 J (-a a) f(x)dx，若 f(x)关于 x 是偶函 数若被积函数关于x轴对称。贝叮(-b b) f(y)dy=0，若f(y)关于y是奇函数2 J (-b b) f(y)dy，若f(y)关于y是偶函数对于二重积分：若被积函数关于y轴对称。则JJDf(x,y)dxdy二0，若 f(x,y)关于 x 是奇函数2 JJDf(x,y)dxdy，若 f(x,y)关于 x 是偶函数， Di是第一挂限若被积函数关于x轴对称。贝OJJDf(x,y)dxdy=0，若
6、f(x,y)关于y是奇函数 2JJDf(x,y)dxdy，若f(x,y)关于y是偶函数，D】是第一挂限特别地，当积分区域是关于两个 坐标轴都对称时。而被积函数也是偶函数。贝惰JJDx? dxdy= JJDy? dxdy=(1/2) JJD(x?+y? )dxdy对于三重积分: 若积分域Q关于zox面对称。则JJJQf(x,y,z)dxdydz二0 ，若 f(x,y,z)关于 x 是奇函数2 JJQf(x,y,z)dxdydz，若 f(x,y,z关于 x 是偶函数，Qi是第一挂限若积分域Q关于yoz面对称。则JJJQf(x,y,z)dxdydz二0，若f(x,y,z) 关于y是奇函数2 JJQi
7、f(x,y,z)dxdydz，若f(x,y,z)关于y是偶函数，Qi是第一挂限若积分域Q 关于 xoy 面对称。则JJJQf(x,y,z)dxdydz二0，若 f(x,y,z)关于 z 是奇函数2 JJQif(x,y,z)dxdydz，若 f(x,y,z关于 z 是偶函数，Qi是第一挂限特别地，当积分区域是关于三个坐标轴都对称时。而被积函数也是 偶函数。则有JJJQx? dV= JJJQy? dV= JJJQz? dV=(1/3) JJJQ (x?+y? +z? ) dV 所以越上一级，能求得 的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象 力提高了。重积分
8、能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。又比如说，在a x g(x)用定积分求的面积公式是J (aTb) f(x)-g(x)dx 但是升级的二重积分，面积公式就是J (aTb) dx J (g(x)Tf(x)dx、 被积函数变为1 了用不同积分层次计算由z=x2 +y2、z=a?围成的体积？ 一重积分(定积分)： 向 zox 面投影，得 z=x2、令 z=a2 -x=a 、采用圆壳法V=2 nrh=2 nJ (OTa) xzdx=2 nJ (OTa) x3 dx=2 n (1/4) x4| (OTa)= na4/2 二重积分：高为 a、将 z=x2 +y2 向 xoy面投影得 x2+
9、y2 =a2 所以就是求JJ (D) (x2+y2 )dxdy、其中 D 是 x2+y2 =a2 V= JJ (D) (x2 +y2 )dxdy= J (0T2n) d 0 J (OTa)卢dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的=2 n (1/4) r4| (OTa) = na4/2三重积分：旋转体体积，被积函数是1,直接求可以了柱坐标切片法：Dz:x?+y2 =zV= JJJ (Q) dxdydz= J (OTa?) dz JJDzdxdy二 J (OTa?) nzdz= n 0/2|(。Ta?)= na4/2 柱坐标投影法：Dxy:x?+y? =a? V= JJJ (Q) dxdydz=
10、 J (OT2n) d 0 J(OTa) rdr J (r?Ta?) dz=2 n J (OTa) r (a?-r? ) dr=2 n a? r?/2-(1/4)r 4| (OTa) =2na 4/2-(1/4)a 4= na4/2三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。关 于曲线积分和曲面积分的算法：如果再学下去的话，。24闭合曲线积分的结果是什么平时的积分，我们理解它们的意义时，总是用面积、体积之类的意义解释；偶尔会被数学教师碰对，但是整体上，绝大多数教师是在误导学生。以线积分为例，我们硬生生地分为第一类、第二类。最初的划分是想深化概念、细化概念，但是我们每次的划分，都是有始无
11、终，都是始乱终弃：1、diefferentiation，我们分出了可导、可微势不两立的概念，已经背离了国际微积分理论的原汁原味，英文中并无可微可导的区别。我们在大跃 进年代在一阶可微不变性的基础上，硬扯二阶、三阶、结果走火入魔， 无法为续，留下了一大堆难自圆其说、矛盾重重的说法，迄今为止，不了 了之。当初的领头人现在已经成为古人，领头人在谢世前，都承认了错误 百出；但是热衷吹捧的子孙们依然狐假虎威，依然以此在捞取崇高的社会 地位、大量的社会财富、2、凑微分法，迄今为止，得不到国际的接受，我们近一个世纪来，取不出一个英文名称，我们连一个文雅一点的中文名称也始终没有，严格规范的 定义从来给不出，既
12、无心更无力，一直停留在各人各说法，各人各意会的 口耳相传的市井文化层次。3、积分变换法，我们在凑微分的基础上，分出第一类、第二类换元法，由 于凑微分法一直处于迷迷糊糊、大概大概、 “你懂的”这个层次，所以两 类换元法，也一直处于朦朦胧胧的状态，我们不以为意。4、到了曲线积分，我们又试图有自己的一套，结果也只能停留在如下层次A、第一类曲线积分是对弧长的积分；B、第二类曲线积分是对坐标的积分。仅此而已，再也无法继续深入下去。 只要能解答几道这类的积分问题，在大学里混上十年八年， 100%一定能鬼混到教授职称！5、在中文微积分的大学教科书中，胡扯蛋的地方比比皆是，尤其是到了 多元微积分、微分方程后，
13、更是高潮叠起，网上搜到的，教科书看到的， 文库百科查到的，剽窃来剽窃去、糊弄来糊弄去，千篇一律、鬼话一片！ 一个概念胡涂，家家概念忽悠！6、本人在这里给楼主提供一种理解方法的建议，供参考：A、所有的积分，不要用面积、体积去理解，那样会窄化楼主的思路。B、把所有的积分，跟具体的物理概念、物理过程紧密相连。由于一般的大学数学教师的物理能力、化学见识、天文、地质、电子、经济、等等等等方面，都是空白一片，最多只能理解到做功概念。跳脱他们的局限，拜托他们的魔咒，就会轻松自如。（以曲线积分为例）a、纯粹的广延extensity物理量的状态的积分，这是积分的第一层含义；b、纯粹的强度intensity物理量
14、的过程的积分，这是积分的第二层含义。第一层含义，第二层含义，都是叠加，积分就是叠加。第一层含义，是英文中的superpositionprinciple，我们翻译成叠加原理。从这个角度来说，我们的叠加原理的翻译是非常偏颇的，并不贴切。【结论】这样我们就可以将闭合曲线积分的结果归纳为：第一整体的、自始至终跟矢量毫无关系的标量的累积，如质量、电量、能量、转动惯量、。它们是对线元的积分，是对弧长的积分、。第二 整体的、自始至终跟矢量有关的，但结果仍然是标量的累积 如功、热能、电动势、磁环量、。它们也是对线元的积分，却是对坐标的积分、。3.关于曲线曲面积分的学习方法首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些
15、积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如 对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密 度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什 么关于X是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，陈文登的书上面好 像都总结了。然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，同济第五版的高等数学， 上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。第一是要理解公式，不要看到公式不知道什么含义，或者记不起公式，这就是前面说的按其物 理含义直观去理解记牢。找一些相关题目做一做，同时在坐标的曲线积分和坐标的曲面积分中， 特别要注意你所考虑的曲线或曲面的方向。曲面一般是朝Z轴方向为正，即与Z轴的正方向夹 角小于 90 度时为正，反之为负。找一些典型题目做一做，自己也总结一下，如果积分区域是 对称的话，尽量考虑应用对称性。设S为光滑曲面，函数f(x,y,z)在E上有定义，把S任意地分成n个小曲面Si,其面积设为ASi, 在每个小曲面Si上任取一点(Xi,
