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1、完好版余弦定理证明方法计划大全共十法余弦定理的证明方法大全(共十法 )一、余弦定理余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍 , 即在 ABC 中, 已知 AB c , BC a , CA b, 则有a2b2c22bc cos A ,b2c2a22ca cos B ,c2a2b22ab cosC .二、定理证明为了表达的方便与一致 , 我们证明以下问题即可 :在 ABC 中 , 已知 AB c , ACb , 及角 A, 求证 : a2b2c22bc cos A.uuuruuuruuur证法一: 如图 1,在 ABC中, 由CBABAC 可得:
2、/ uuur uuuruuuruuuruuuruuurCB CB(ABAC ) ( ABAC)Cuuur 2uuur 2uuur uuurABAC2AB ACb2c22bc cos ABA即 , a2b2c22bc cos A .图1证法二 : 本方法要注意对A 进行谈论 .(1) 当A 是直角时 , 由 b2c22bc cos Ab2c22bc cos90b2c2a2 知结论建立 .(2) 当A是锐角时 , 如图 2-1, 过点 C作CDAB, 交 AB于点在 Rt ACD 中 , ADbcos A , CDb sin A .从而 , BDABADcb cos A .在 Rt BCD 中 ,
3、 由勾股定理可得 :D , 则CBC2BD 2CD 2(cbcos A)2(b sin A)2c22cb cos Ab2ADB图2-1即, a2b2c22bc cos A .说明: 图 2-1中只对B 是锐角时吻合 , 而B 还可以是直角或钝角 . 若B 是直角 , 图中的第1页共4页点 D 就与点 B 重合；若B 是 角 , 中的点 D 就在 AB 的延 上 .(3) 当 A 是 角 , 如 2-2, 点 C 作 CDAB, 交BA延 于点 D,在 Rt ACD 中, AD b cos(A)b cos A , CDb sin(A)bsin A .从而, BD ABAD c bcos A .在
4、 Rt BCD 中, 由勾股定理可得 :BC 2BD 2CD 2C(c bcos A)2(b sin A)2c22cb cos Ab2DAB即, a2b2c2图 2-22bc cos A . 上 (1),(2),(3)可知 , 均有 a2b2c22bc cos A建立 . 法三: 点 A作AD BC,交 BC于点 D,在 RtABD 中, sinBD , cosAD .CccD在 RtACD 中, sinCDADb, cosb.由 cos A cos()coscossinsin可得 :AD 2A图 3Bcos AADAD BDCDBD CDcbcbbc2AD 22BD CDc2BD 2b2CD
5、 22BD CD2bc2bcb2c2(BD CD )2b2c2a22bc2bc整理可得 a2b2c22bc cos A . 法四 : 在 ABC 中, 由正弦定理可得abcc.sin Asin Bsin Csin( AB)从而有 b sin Aa sin B , c sin Aa sin( AB)asin A cos Ba cos Asin B .将 入 , 整理可得 a cosBcb cosA . 将 , 平方相加可得 a2(cbcos A)2(b sin A) 2b2c22bc cos A .第2页共4页即 , a2b2c22bc cos A .证法五 : 建立平面直角坐标系 ( 如图4)
6、, 则由题意可得yC点 A(0,0) , B(c,0) , C (b cos A, b sin A) , 再由两点间距离公式可得 a2( c b cos A)2(bsin A) 2c22cb cos Ab2 .即 , a2b2c22bc cos A .A(O)图 4B x证法六:在ABC 中, 由正弦定理可得 a2Rsin A , b2R sin B , c2Rsin C .于是 ,a24R2 sin2A4R2 sin 2 ( BC )4R2 (sin 2 B cos2 Ccos2 B sin 2 C 2sin B sin C cos B cosC )4R2 (sin 2 Bsin 2 C2s
7、in 2 B sin 2 C2sin B sin C cos B cosC )4R2 (sin 2 Bsin 2 C2sin B sin C cos(B C )4R2 (sin 2 Bsin 2 C2sin B sin C cos A)(2 R sin B)2(2 R sin C )22(2 R sin B)(2 R sin B)cos Ab2c22bc cos A即, 结论建立 .证法七 : 在 ABC 中, 由正弦定理可得 a2Rsin A , b2R sin B , c2Rsin C .于是 ,a2b2c22bc cos A4R2 sin 2A4R2 sin 2 B 4R2 sin 2
8、C8R2 sin B sin C cos A2sin 2 A2sin 2 B 2sin 2 C4sin B sin C cos A2sin 2 A2cos 2Bcos2C4sin B sin C cos A22cos 2A22cos( BC )cos( BC ) 4sin B sin C cos A由于 cos( BC)cos(A)cos A , 因此cos2Acos(BC )cos( BC )2sin B sin C cos Acos Acos( BC )2sin B sin Ccos Acos B cosCsin B sin Ccos(B C ) . 这 , 显然建立 .第3页共4页即,
9、结论建立 .证法八 : 如图 5, 以点 C 为圆心 , 以 CAb为半径作 e C , 直线 BC 与 e C 交于点 D , E , 延长AB 交 e C 于 F , 延长 AC 交 e C 于 G .则由作图过程知AF2b cos A ,故 BF2b cosAc .由订交弦定理可得 : BA BFBD BE ,即 , c (2b cos Ac)(ba) (ba) ,FE2bcosA-cBb-aacGbCbAbD图 5整理可得 : a2b2c22bc cos A .证法九:如图 6,过C作CD AB,交 ABC的外接圆于 D,则 AD BCa , BD AC b .分别过 C,D 作 AB 的垂线 , 垂足分别为 E, F , 则 AE BFb cos A , 故 CD c2bcos A .由托勒密定理可得AD BCAB CDAC BD ,CD即 , a a c (c2b cos A)b b .baa整理可得 : a2b2c22bc cos A .证法十 : 由图 7-1和图 7-2可得 a2(c b cos A)2(b sin A)2 ,A EcF B
