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1、北师版八年级下第 一 章 三 角 形 的 证 明3.“手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形练素养123温馨提示：点击进入讲评习题链接已知已知ACB和和DCE都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，ACBDCE90，连接，连接AE，BD交于点交于点O，AE与与DC交于点交于点M，BD与与AC交于点交于点N.(1)如图如图，求证：，求证：AEBD；1(2)如图如图，若，若ACDC，在不添加任何辅助线的情况下，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四对全等的直角三角形请直接写出四对全等的直角三角形 .【解】【解】ACBDCE，EMCBNC，AONDOM，AOBDOE.【点方法】如如果果两两个个等等腰腰
2、三三角角形形共共顶顶点点且且顶顶角角相相等等，那那么么会会得得到到一一对对全全等等三三角角形形，且且改改变变两两个个三三角角形形的的相相对对位位置置并并不不会会改改变三角形的全等关系变三角形的全等关系2023贵阳为明国际学校模拟贵阳为明国际学校模拟如图，如图，ABC与与EDC都都是等边三角形，当点是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接在一条直线上时，连接AD，BE交于点交于点M，连接，连接CM，试探究线段，试探究线段BM与线段与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由2【解】【解】BMAMCM.理由如下：理由如下：如图，在如图，在DA上取点上取点F，使，使D
3、FME，连接，连接CF.ABC与与EDC都是等边三角形，都是等边三角形，ACBC，CECD，BCAECD60.BCEACD.BCEACD(SAS)ADBE，BECADC.【点方法】解解共共顶顶点点的的等等边边三三角角形形问问题题时时，等等边边三三角角形形的的性性质质都都是是已已知知条条件件，会会构构造造等等边边三三角角形形MCF是是解解答答本题的关键本题的关键.已知线段已知线段ABl于点于点B，点，点D在直线在直线l上，分别以上，分别以AB，AD为边作等边三角形为边作等边三角形ABC和等边三角形和等边三角形ADE，直线，直线CE交直线交直线l于点于点F.(1)当点当点F在线段在线段BD上时，如
4、图上时，如图，直接写出，直接写出DF，CE，CF之间的关系之间的关系_3DFCECF【点拨】ABl，ABD90.ABC和和ADE都是等边三都是等边三角形角形BACDAEABCACB60，ACAB，AEAD.BADCAE.在在BAD和和CAE中中，ABAC，BADCAE，ADAE，BAD CAE(SAS)BDCE，ACEABD90ACF.ABDABCACFACB.FCBFBC.CFBF.DFBDBFCECF.(2)当点当点F在线段在线段BD的延长线上时，如图的延长线上时，如图，当点，当点F在线段在线段DB的延长线上时，如图的延长线上时，如图，请分别写出线段，请分别写出线段DF，CE，CF之间的数
5、量关系，在图之间的数量关系，在图、图、图中选一个进行中选一个进行证明证明.【解】题图【解】题图中中DFCFCE，证明：证明：ABBD，ABD90.ABC，ADE都是等边三角形都是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAEABCACB60.BADCAE.ABDACE(SAS)CEBD，ACEABD90.CBFBCF30.CFBF.DF BFBD，DFCFCE.题题图图中，中，DFFCCE.证明：同理可得证明：同理可得ABDACE，BFFC，BDCE.DFBFBD，DFFCCE.(3)在在(1)(2)的条件下，若的条件下，若BD2BF，EF6，请直接写出，请直接写出CF的长的长【解解】CF的长为的长为2或或6.【点拨】在题图在题图中，中，BD2BF，BFFD.CFBF，FDCF.BDCE2CF.EFECCF2CFCF3CF.EF6，CF2.在题图在题图中，中，BD2BF不合题意，舍去不合题意，舍去在在题图题图中，中，BD2BF，BFCF，BD2CF.又又BDCE，EFCECFBDCF2CFCFCF.EF6，CF6.综上所述，综上所述，CF2或或6.
