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1、北师版八年级下第 一 章 三 角 形 的 证 明全章热门考点整合应用D12345C67答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接8A35C910111213141516温馨提示：点击进入讲评习题链接171819用反证法证明命题用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角在直角三角形中，至少有一个锐角不大于不大于45”时，应先假设时，应先假设()A有一个锐角小于有一个锐角小于45B每一个锐角都小于每一个锐角都小于45C有一个锐角大于有一个锐角大于45D每一个锐角都大于每一个锐角都大于451D有下列这些命题：有下列这些命题：直角都相等直角都相等；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；如果
2、如果ab0，那么，那么a0，b0；相等的角都是直角；相等的角都是直角；如果如果a0，b0，那么，那么ab0；两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等其中互逆命题有其中互逆命题有_(填序号填序号)和和，和和2下列三个定理中，存在逆定理的有下列三个定理中，存在逆定理的有()有两个角相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形；全等三角形的周长相等；全等三角形的周长相等；同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行A0个个B1个个C2个个D3个个3C写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理(1)全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应
3、边相等；(2)等角的补角相等等角的补角相等4【解】逆命题【解】逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等：三条边对应相等的两个三角形全等原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理逆定理.逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角角原原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理们是互逆定理2023陕西陕西如图，在如图，在ABC中，中，B50，C20，过点，过点A作作AEBC，垂足为，垂足为E，延长，延长EA至点至点D.使使ADAC.在边在边AC上截取上截取
4、AFAB，连接，连接DF.求证求证：DFCB.52023锦州锦州如图，在如图，在ABC中，中，BC的垂直平分线交的垂直平分线交BC于点于点D，交，交AB于点于点E.连接连接CE.若若CECA，ACE40，则，则B的度数为的度数为_635【点拨】2022鞍山鞍山如图，直线如图，直线ab，等边三角形，等边三角形ABC的顶点的顶点C在直线在直线b上，上，240，则，则1的度数为的度数为()A80 B70C60 D507A2023岳阳岳阳已知已知ABCD，点，点E在直线在直线AB上，点上，点F，G在直线在直线CD上，上，EGEF于点于点E，AEF40，则，则EGF的度数是的度数是()A40 B45C5
5、0 D608C如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BAC40，AD是是BC边上的高，线段边上的高，线段AC的垂直平分线交的垂直平分线交AD于点于点E，交，交AC于点于点F，连接，连接BE.9(1)试问：线段试问：线段AE与与BE的长相等吗？请说明理由的长相等吗？请说明理由；【解】线段【解】线段AE与与BE的长相等的长相等理由如下：如图，连接理由如下：如图，连接CE.ABAC，AD是是BC边上的高，边上的高，BDCD.AD为为BC的垂直平分线的垂直平分线点点E在在AD上上BECE.又又线段线段AC的垂直平分线交的垂直平分线交AD于点于点E，交，交AC于点于点F，AECE.AEBE.(2)求求
6、EBD的度数的度数如图，已知在如图，已知在RtABC中，中，A90，BD是是ABC的的平分线，平分线，DE是是BC的垂直平分线的垂直平分线求证求证：BC2AB.10【证明】【证明】DE是是BC的垂直平分线，的垂直平分线，BC2BE，DEBC.A90，DAAB.BD是是ABC的平分线，的平分线，DADE.又又BDBD，RtABDRtEBD(HL)ABBE.BC2AB.如图，点如图，点D，E分别是分别是AB，AC的中点，的中点，BE，CD相交相交于点于点O，BC，BDCE.求证求证：11(1)ODOE；(2)ABEACD.如图，已知如图，已知ABAC，ADAE，BD和和CE相交于点相交于点O.(1
7、)求证：求证：ABDACE；【证明】【证明】ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE(SAS)12(2)判断判断BOC的形状，并说明理由的形状，并说明理由【解】【解】BOC是等腰三角形是等腰三角形理由：理由：ABDACE，ABDACE.ABAC，ABCACB.ABCABDACBACE.OBCOCB.BOCO，即，即BOC是等腰三角形是等腰三角形如图，如图，P是等边三角形是等边三角形ABC内的一点，连接内的一点，连接PA，PB，PC，以，以BP为边作为边作PBQ60，且，且BQBP，连接，连接CQ，PQ.13(1)观察并猜想观察并猜想AP与与CQ之间的数量关系，并证明你的结论之间的数量关系
8、，并证明你的结论；【解】【解】APCQ.证明证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCB，ABC60.PBQ60，ABCPBQ.ABCPBCPBQPBC，即即ABPCBQ.又又BPBQ，ABCB，ABPCBQ(SAS)APCQ.(2)若若PAPBPC345，试判断，试判断PQC的形状，并说明理的形状，并说明理由由【解解】PQC是直角三角形理由如下是直角三角形理由如下：由：由PAPB PC345，可设，可设PA3a(a0)，则，则PB4a，PC5a.在在PBQ中，中，PBBQ4a，PBQ60，PBQ是等边三角形是等边三角形PQ4a.又由又由(1)知知CQPA，PQ2CQ2PQ2PA216a2
9、9a225a2PC2.PQC是直角三角形是直角三角形如图，在如图，在RtABC中，中，C90，BD是是RtABC的的一条角平分线，点一条角平分线，点O，E，F分别在分别在BD，BC，AC上，上，且四边形且四边形OECF是正方形连接是正方形连接AO.14(1)求证：点求证：点O在在BAC的平分线上的平分线上；【证明】如图，过点【证明】如图，过点O作作OMAB于点于点M.四边形四边形OECF是正方形，是正方形，OEECCFOF，OEBC，OFAC.BD平分平分ABC，OMOEOF.又又OMAB，OFAC，点点O在在BAC的平分线上的平分线上(2)若若AC5，BC12，求，求OE的长的长【解】【解】
10、AC5，BC12，由勾股定理求得由勾股定理求得AB13.设设OEx，易得，易得AFAM5x，BEBM12x.BMAMAB13，12x5x13，解得，解得x2.OE2.如图，如图，E是是BC的中点，点的中点，点A在在DE上，且上，且BAECDE.求证求证：ABCD.15【证法一】如图【证法一】如图，延长，延长DE至点至点F，使，使EFDE，连接，连接BF.BECE，BEFCED，EFED，BEFCED(SAS)BFCD，FCDE.又又BAECDE，FBAE.BFAB.ABCD.【证法二】如图【证法二】如图，分别过点，分别过点B，C作作BFAE，交，交AE的延的延长线于点长线于点F，CGAE，交，
11、交AE于点于点G.BEFCEG，BFECGE90，BECE，BEFCEG(AAS)BFCG.又又AFBDGC90，BAFCDG，ABFDCG(AAS)ABCD.【证法三】如图【证法三】如图，过点，过点C作作CFAB，交，交DE的延长线于的延长线于点点F，则，则BAEF.又又BEACEF，BECE，BEACEF(AAS)ABFC.DBAE，FD.FCCD.ABCD.【点方法】运运用用“截截长长补补短短法法”构构造造全全等等三三角角形形有有两两个个标标志志：一一是是条条件件中中有有角角平平分分线线，截截长长补补短短是是在在角角平平分分线线所所平平分分的的角角的的两两边边上上进进行行二二是是条条件件
12、或或结结论论中中出出现现一一条条线线段段等等于于另另外外两两条条线线段段的的和和或或差差，截截长长补补短短也也是是在在相相关关的的线线段段中进行中进行如图，已知如图，已知ADAE，BDCE，试探究，试探究AB和和AC的数的数量关系，并说明理由量关系，并说明理由16【解】【解】ABAC.理由如下：理由如下：ADAE，ADE是等腰三角形是等腰三角形取线段取线段DE的中点的中点F，连接，连接AF，则，则AF既是既是ADE的中线，的中线，又是底边上的高，即又是底边上的高，即AFDE，DFEF.又又BDCE，BDDFCEEF，即，即BFCF.AF是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线ABAC.如图，在
13、如图，在ABC中，中，B22.5，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点Q，交，交BC于点于点P，PEAC于点于点E，ADBC于于点点D，AD，PE交于点交于点F.求证：求证：DFDC.17【证明】连接【证明】连接AP.PQ是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，PAPB.BPAB22.5.APC45.ADPC，ADP为等腰直角三角形为等腰直角三角形DPAD.PEAC，AFEDAC90.又又FPDPFD90，PFDAFE，FPDCAD.又又PDFADC90，DPDA，PDFADC(ASA)DFDC.如图，如图，ABBC，DCBC，E是是BC的中点，的中点，AE平分平分BAD.求证：求
14、证：DE平分平分ADC.18【证明】如图，过点【证明】如图，过点E作作EFAD于点于点F.AE平分平分BAD，ABBC，EFAD，BEFE.E为为BC的中点，的中点，BECE.FECE.又又EFAD，ECDC，DE平分平分ADC.如图，如图，A，B两点在直线两点在直线l的两侧，在直线的两侧，在直线l上找一点上找一点C，使点使点C到点到点A，B的距离之差最大，并说明理由的距离之差最大，并说明理由19【解】如图，以直线【解】如图，以直线l为对称轴，作点为对称轴，作点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A，连接，连接AB并延长，交直线并延长，交直线l于点于点C，则点，则点C即为所求即为所求理由：在直线理由：在直线l上任找一点上任找一点C(异于点异于点C)，连接，连接CA，CA，CA，CB.点点A，A关于直线关于直线l对称，对称，直线直线l为线段为线段AA的垂直平分线，则有的垂直平分线，则有CACA.CACBCACBAB.又又点点C在直线在直线l上上，CACA.在在ABC中，中，CACBAB，CACBCACB.CACBCACB.点点C到点到点A，B的距离之差最大的距离之差最大
