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1、1.4 1.4 角平分线角平分线第一章第一章 三角形三角形的证明的证明逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u角平分线的性质角平分线的性质定理定理u角平分线的判定角平分线的判定定理定理u三角形的角平分线的性质定理三角形的角平分线的性质定理知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点角平分线的性质定理角平分线的性质定理11.性质定理性质定理 角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线的性质的两个必要条件：角平分线的性质的两个必要条件：(1)点点在角平分线上；在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的
2、垂线段这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度的长度.感悟新知感悟新知2.几何语言几何语言 如如图图 1-4-1，OP 平分平分 AOB，PD OA 于点于点 D，PE OB 于点于点 E，PD=PE.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.角平分线的性质角平分线的性质是由两个是由两个条件条件(角平分线角平分线，垂垂线线)得到得到一个一个结论结论(线段相等线段相等).2.利用角平分线利用角平分线的性质的性质证明线段证明线段相等相等时，证明时，证明的的线段线段是是“垂直于垂直于角两边角两边的线段的线段”，而，而不是不是“垂直垂直于角平分线于角平分线的线段的线段”.知
3、知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 1-4-2，OD 平分平分 EOF，在在 OE，OF 上分上分别取点别取点 A，B，使使 OA=OB，P 为为 OD 上一点上一点，PM BD，PN AD，垂足分别为，垂足分别为 M，N.求证求证：PM=PN.例1知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质的模在图中找出符合角平分线的性质的模型，型，利用角平分线利用角平分线的性质证线段相等的性质证线段相等.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知B知知1 1练练感悟新知感悟新知母母题教材题教材P31例例3 如如图图 1-4-3，在，在 ABC 中，中，C
4、=90，AC=BC，AD 平分平分 CAB，交，交 BC 于点于点 D，DE AB，垂足，垂足为为E.若若 AB=8 cm，求，求 DEB 的周长的周长.例2 知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的运用角平分线的性质及全等三角形的性质，性质，将求将求 DEB 的周长转化为求线的周长转化为求线段段 AB 的长的长.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知2-1.如图，在如图，在 ABC 中中，C=90，AD 平分平分 BAC，DE AB 于点于点 E，有下列结论：，有下列结论：CD=ED；AC+BE=AB；BDE=BAC；DA 平分平
5、分 CDE.其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4D知知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 1-4-4，BD 是是 ABC 的角平分线，的角平分线，DE AB 于于 E，S ABC=90 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求，求 DE 的长的长.例3知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解紧扣总面积等于各部分面积的和求解.知知1 1练练感悟新知感悟新知3-1.中考中考北京北京 如图如图，在，在 ABC 中，中，AD 平分平分 BAC，DE AB若若 AC 2，DE 1，则，则 S ACD _.1感悟新知感悟新
6、知知知2 2讲讲知识点角平分线的判定定理角平分线的判定定理21.判定判定定理定理 在在一个一个角的内部角的内部，到角的两边，到角的两边距离相等距离相等的点在的点在这个这个角的平角的平分线上分线上.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.几何语言几何语言 如如图图 1-4-5，点点 P 为为 AOB 内一点内一点，PD OA，PE OB，垂足分别为，垂足分别为 D，E，且，且 PD=PE，点点 P 在在 AOB 的平分线的平分线 OC 上上.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.使用该判定使用该判定定理的定理的前提是这个前提是这个点必须点必须在角的内部在角的内
7、部.2.角平分线的判定是角平分线的判定是由两个由两个条件条件(垂线垂线，线段，线段相等相等)得得到到一个一个结论结论(角平分线角平分线).3.角平分线的角平分线的判定定理判定定理是证明两是证明两角相等的重要角相等的重要 依据依据，它比利用它比利用三角形三角形全等证两全等证两角相等角相等更方便快捷更方便快捷.感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图 1-4-6，BE=CF，BF AC 于点于点 F，CE AB于点于点 E，BF 和和 CE 交于点交于点 D.求证求证：AD 平分平分 BAC.例4 知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分利用角平分线的判定定理
8、证明角平分线时，线时，紧扣紧扣点在角的内部且点到角两点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明边的距离相等进行证明.知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知4-1.如图如图，D，E，F 分别是分别是 ABC 三边上的点三边上的点，CE=BF，DCE 和和 DBF的的面积相等面积相等.求证求证：AD平分平分 BAC.知知2 2练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图 1-4-7，MAC 和和 NCA 是是 ABC 的外角，的外角，ABC 的平分线的平分线 BD 与与 MAC 的平分线的平分线 AD 交于点交于点 D.求证：求证：CD 平分平分 ACN.例5知
9、知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“到到 CA，CN 的距离的距离相等相等的点在的点在 ACN 的平分线上的平分线上”进行证明进行证明.证明证明：如图如图 1-4-7，过点，过点 D 作作 DEBM于于点点 E，DF BN 于点于点 F，DG AC 于点于点 G.BD 平分平分 ABC，DE=DF.AD 平分平分 MAC，DE=DG.DG=DF.CD 平分平分 CAN.知知2 2练练感悟新知感悟新知由此例的结论可知，三角形的一条内角平由此例的结论可知，三角形的一条内角平分线与两条外角平分线也相交于一点分线与两条外角平分线也相交于一点.知知2 2练练感悟新知感悟新知5-1.如
10、图如图，ABC 的外角的外角 ACD 的平分的平分线线CE 与内角与内角 ABC 的平分线的平分线 BE 交于点交于点 E.若若 BAC=70，则则 CAE=_.55感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点三角形的角平分线的性质定理三角形的角平分线的性质定理31.性质定理性质定理 三角形三角形的三条角平分线相交于一点，并且的三条角平分线相交于一点，并且这这一点到一点到三条边的距离相等三条边的距离相等.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.几何语言几何语言 如如图图 1-4-8，在，在 ABC 中，中，AD，BM，CN 分别是分别是 BAC，ABC，ACB 的平分线，则的平分线，则 AD，BM，CN 交
11、于交于一点一点 O，且点，且点 O 到三边到三边 BC，AB，AC 的的距离距离(OE，OG，OF 的的长长)相等相等，即，即 OE=OG=OF.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知要点解读要点解读三角形的三三角形的三条角平分线条角平分线相交于相交于三角形三角形内一点，内一点，且且该点该点到三角形三边到三角形三边的距离的距离相等相等.反之反之，三角形，三角形内部到三内部到三边距离边距离相等的点是相等的点是三角形三角形三条三条角平分线角平分线的的交点交点.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 1-4-9，在，在 ABC 中，点中，点 O 是是 ABC，ACB的平分线的交点，的平分线的交点，AB+BC
12、+AC=20.过过 O 作作 OD BC 于点于点 D，且，且 OD=3，求，求 ABC 的面积的面积.例6 知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质紧扣三角形内角平分线的性质，得出，得出点点 O 到三角形三边的距离相等是关键到三角形三边的距离相等是关键.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知6-1.如图，有一块如图，有一块三角形三角形的空地的空地 ABC，其三，其三边长边长 AB，AC，BC 分别为分别为 30 m，40 m，50 m.现现要把它分要把它分成面积比成面积比为为3 4 5 的三部分的三部分种植种植三种不同的花，三种不同的花
13、，请请你设计你设计一种方案，并一种方案，并简要说明简要说明理由理由.知知3 3练练感悟新知感悟新知解：方案如图，分别作解：方案如图，分别作ABC和和ACB的平分线，两线交的平分线，两线交于点于点P，连接，连接AP，则，则 ABP，ACP，BCP即为所求即为所求的三块地的三块地理由理由：P为为 ABC的三个内角平分线的交点，的三个内角平分线的交点，点点P到到AB，AC，BC的距离均相等的距离均相等ABP，ACP，BCP的面积比即为它们的底边的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比的长度的比(答案不唯一答案不唯一)角平分线角平分线三角形三条三角形三条内角平分线内角平分线角平分线角平分线性质性质判定判定
