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1、基于线性矩阵不等式的多闭环稳定域PID控制器参数计算方法 摘要：本文涉及的问题是：寻求一种求解多闭环稳定范围PID（比例积分微分） 控制器参数取值的科学方法，线性矩阵不等式（LMI）是一种有效精准的解决此类 问题的计算方案，通过求解问题的转换与鲁棒稳定性实验联系起来，把模型化的 描述方法与线性参数依赖型李雅普诺夫（Lyapunov）函数的方法结合起来，以促 进实时校正的复杂多回路PID控制器的实践应用。1. 概述比例积分微分（PID ）控制器为主的工业自动化控制的应用历史已超过六十 年，它具有控制器结构简单、鲁棒性建模误差小和抗干扰的性能等，并提供了许 多调整方法。单输入单输出（ S I SO
2、 ） PID 控制系统的稳定性分析是比较简单直 接的，一般情况下，可以应用奈奎斯特稳定性判据，利用的奈奎斯特曲线的开环 传递函数进行分析。但是对于多输入多输出（ MIMO ）系统，广义奈奎斯特稳定 性判据充分应用了 Rosenbrock方法、Nwokah方法、麦克法兰（MacFarlane）方法 和Belletrutti方法，并被有效地统一起来。有关的工具，如特征方程，奈奎 斯特阵列和Gershgorin带近似估计的发展，被广泛应用于MIM0系统的分析与频 域设计领域，虽然与单输入单输出情况下的性质类似，但是由于MIMO系统的复 杂性所以没有在单输入单输出情况下应用的方便。作为PID控制器的调
3、整，大部分现有的方法已在SISO系统上得以应用，如齐 格勒一尼科尔斯（Ziegler-Nichols）方法，极点配置设计，根轨迹的方法，频率 响应方法，优化技术。相比之下，很少方法可用于MIM0的PID控制器的调整. 其中最广泛应用的也只是（ BLT ）整定方法，这被视为古典齐格勒一尼科尔斯 方法的直接扩展应用于MIMO情况把一种分散的PID控制器设计方法应用于双 输入双输出（TIT0）系统，它的理想的临界点可以通过Zieler-Nichols规则或 其自修复来整定PID控制器。目前多闭环系统的PID整定方法主要依赖于反馈实 验。目前多闭环PI控制器的设计技术主要还是对双输入双输出（TITO）
4、系统进 行极点配置。完全交叉耦合多变量分散PID控制器的调整方法也是依赖于反馈实 验，通过实验初步估计频率响应矩阵在零和振荡频率之间，据此可以设计多变量 PID控制器的对角线元素。内部模型控制（IMC）也推广到MIMO系统。最近PID 控制虽然已取得了巨大的进步，但一些基本问题仍有待解决以更好地理解和应用 的PID控制器，特别是对MIMO的情况。PID控制研究的首要任务是为给定的控 制过程确定一个稳定的PID控制器;如果可能的话，最好能找到给定进程稳定时 其参数取值区域。这个问题是非常重要的，无论在理论上和实际上，还涉及到稳 定边界或鲁棒性。不幸的是，大多数现有的上述方法只能确定一些定值（不包
5、括 范围）的稳定PID参数。对于单输入单输出系统，增益和相位的边界可以明确界 定而且可以很容易地确定其图形或数值。Hermite-Biehler定理可以求解所有稳 定的PID控制器的单输入单输出延迟的线性时不变系统。在此基础上，它扩展了 一些优化技术。然而，他们的方法是不太可能扩大到了 MIMO系统。在MIMO的 PID控制系统中，没有取得太多实质进展。虽然Safonov和At hans提出了一种 奇异定值的多闭环稳定性分析方法，在那里充分条件的稳定性和一些表征多闭环 系统的频率依赖性增益和相位边界得到发展。但他们的标准是保守的。Morar提 出的概念，多伊尔研制的卩-分析，这是用来作为一种有
6、效的工具鲁棒镇定分析 多变量反馈控制。作为一种在频域，卩型分析处理系统的不确定性，复杂的价值。但是，参数的PID控制器都是真实的。因此，在卩型的分析来确定的稳定范围 的PID控制器，稳妥是不可避免的，总之，可以得出的结论是，似乎没有令人满 意的定义的MIMO增益和阶段的边界，也没有有效的方法，用于确定他们迄今。 我们最好的知识，没有结果，可找到稳定的PID范围的MIMO过程。应当指出的是，时域方法是最近MIMOPID控制的有价值方法。这种方法基本 思想是把MIMO的PID控制系统等效为静态输出反馈(SOF)系统，其中许多成 果都可以使用。虽然静态输出反馈稳定仍然难以解决，李雅普诺夫稳定条件和一
7、 些线性二次型(LQ)控制方法可以用来进行稳定性分析和稳定参数求解。 Bernussou解决了把LQ问题转换到一个新的参数空间产生的等效问题。如何转 换控制设计问题，如何把线性规划问题的目标函数和制约因素体现在线性矩阵不 等式(LMI)中Cao提出了一种迭代LMI方法应用于静态输出反馈稳定，Crusius and Trofino给出了 LMI方法解决MIMO控制等问题的足够条件，时域方法给LMI 可以用来分析和设计MIMO PID控制系统指定了一个新的研究方向，并有可能比传 统频域方法提供更好的结果。在本文中，我们研究线性MIMO系统对角线或分块对角线PID控制结构，应用时域 的方法来确定稳定
8、的 PID 参数域以及获得边界取值。我们将修正我们的最近的 描述模型的方法，把问题转换成一个线性系统的鲁棒稳定性问题。LMI技术可以 应用鲁棒稳定性实验和求解MIMO系统PID控制器稳定参数域。注释:Rn指n维实欧氏空间，上标T表示转秩矩阵，W 0 (W0)表示W为真, 对称正定(半正定)2. 问题描述为了说明稳定回路耦合的多变量系统的分散控制，让我们考虑一个2* 2系统的 传递函数矩阵：1 2S + 1S+134s+1 S+1比例控制器K(s) = diagkl,k2用于负反馈图1所示。该闭环系统特征方程:P (s) = P (s)P (s)detI + G(s)K(s) = s2 + (k
9、 + 4k + 2)s + (k + 4k +1 一 2k k ) = 0 cG k12121 2P (s)和P (S)分别为G(S)和K(S)的特征多项式。当且仅当P (S)所有的根有负实GKC部时闭环系统稳定，或所有系数大于0时即:fk + 4k + 2 0, 0.I 121 2解之得:k 1 k -1,24 12k 2,1k +1k 丄,k22(k 2) 11图2的阴影区域即为稳定域。如当K = 1时我们可以从图上得到K 3/4。或1 2者我们可以直接从图1系统方框图直接得到：丫I(kg gy = g u + g u = (g7 21)u .222 221 122 + kg 2111因此
10、，等价的开环传递函数参数K稳定时第一个闭环参数k满足:4 s + 4 2k丄一(S + 1)(s + 1 + k )1y (s)kg g2= g1丄2 21U (S)221 + kg2 1 11这时奈奎斯特稳定性定理就可以用于SISO系统以确定K稳定域，如果k1 给定。如当K=1，奈奎斯特曲线可描绘成图3,因此开环系统直(s)在RHP内没有 极点，当且仅当奈奎斯特曲线g (s)没有包围点(1/ K，0)或 K 3 / 4闭环系 统是稳定的，这和常规求解一样。一般来说，第二个回路特征方程相当于1+ K g (s)=0，我们可以从第一个开环等式传递函数中得到类似的结果。2 22F12图110匕=s
11、feHr36L 总 ll, 一 ii.l 汕2：f-a.LB6L-(i.lB611D :IOFig. 2. Skihi LiziiLicin reg Inn ofFig. 3. Nyquis-l curve of 直住 for 冏=I-从上面的例子可以总结出一个闭环的稳定域依赖于另外的闭环的稳定域，从 而只要解出给定的MIMO系统一个固定环参数，根据其相互依赖性，就可以推导 出所有其它闭环的参数K, jHi,如果K为唯一定值，那么稳定域参数K的值j12为唯一定值，稳定域参数K的值位于图2中阴影部分的上下边界与线K=1相交 的两个交点之间；同理，如果参数K为一确定区间，那么稳定域参数K的值也为1
12、 2唯一确定区间，并且参数K的值随着参数值变化而变化。我们可以寻找一个稳定矩形建立如下的稳定性问题，考虑一个m*m方阵用n 维状态空间实现：x(t) = Ax(t) + Bu (t),(5)y (t) = Cx(t),这里x e Rn表示状态，y e Rm表示输出，B和C是响应维数的实常数矩阵，本文以以下形式的PID控制器为分析重点:U(S)二K(S) E(S)，这里e(t)= r(t) -y(t)，r(t)为给定点并且：K(S)=K + 2 + Ks=diag k1 s 31I + sdiag k I ，.，2r23131这里k,k ,k为给定的标量，I,I ,I分别为矩阵1i 2 j 31
13、1i 2 j 3111I ，11k I3r33r3k I + diag k I ，.1r11r1s2121k2r2m ,m ,m特征向量，1i 2 j3l工r1 m =工r2 m =工r3 m3l = m，由于本文我们研究的是稳定性，r(t)不产生 i=1 1ij=1 2 ji=1影响可以被忽略，于是上式(6)可转化为时域表达式：u (t) k ky(t)1 2 0 3Xk 厂y(t)k 厂fty(0)d。迓k 厂y(t)1i 1i2i 2i 03i 3ii 1i 10i 1这里:I i diag0,.,0,1 ,0,.,0 e Rmxm, v 1,2,3, i r.(8)viviv本文要考虑
14、的问题如下:问题1状态方程在的控制下，求出向量k ,k ,k的取值区间，i 1,.,r, 1i 2 j 3l1j 1,.,r ,l 1,.,r , 在这个区间内对于所有允许的 k ,k ,k 闭环系统是稳定的 。式 231i 2 j 3 lkk(s) (k +t + k s)I的控制器对应于特殊情行r r r 1，式k(s) diagk +1 s 3 m1231i-diagk + sdiagk 的控制器对应于特殊情形r r r m。值得一提的是MIM0 s2 i3i123系统的边界条件可以参考问题一很容易求解，考虑特殊情况k(s) kI或k k，这时212可以求解出稳定区域：k e(5-o33)f4,(5 +$33)；4，从图2可以看出稳定区域为一条直线BD，点B和D为线k k与阴影部分边界的交点，且BD唯一确定。一般来说，12对于状态方程 中的mxm方阵在式(7)满足所有闭环的合适的比例控制器控制下， k(s) kI ，假设问题1的解为:mk e k, k 这个稳定
