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1、黄金分割专项练习30题(有答案)1.定义：如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,AABC中, AB二AC=1,ZA=36, BD 平分ZABC 交 AC 于点 D.(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.2.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD (ABAD).(1) 若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；(2) 这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB_的长度，若不能，说明理由；怡-1(3) 若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比Z),求该矩形的面积.(结果保留根号)3.定义
2、：如图1,点C在线段AB 上，若满足AC2=BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点. 如图 2,ABC 中，AB=AC=2,ZA=36, BD 平分ZABC 交 AC 于点 D.(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2) 求出线段AD的长.4作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比.5. （1）已知线段AB的长为2, P是AB的黄金分割点，求AP的长; （2）求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使APPB.A*B6如图，线段AB的长度为1.（1）线段AB 上的点C满足系式AC2=BCAB,求线段A
3、C的长度；（选做）（2）线段AC 上的点D满足关系式AD2=CDAC，求线段AD的长度;（选做）（3）线段AD 上的点E满足关系式AE2=DE AD，求线段AE的长度; 上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和1）A E D c7.如图，在 ABC中，AB=AC，ZA=36，Z1=Z2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.8.在4ABC中，AB=AC=2, BC= ；-l,ZA=36, BD平分ZABC,交于AC于D.试说明点D是线段AC的黄金分割 点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD.
4、请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DC10如图，设AB是已知线段，在AB 上作正方形ABCD；取AD的中点E,连接EB；延长DA至F,使EF=EB；以线段 AF为边作正方形AFGH则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说. F.C11.如图，已知 ABC 中，D 是 AC 边上一点，ZA=36,ZC=72,ZADB=108 .求证:(1) AD=BD=BC；(2) 点D是线段AC的黄金分割点.rn12.已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD AB,求字的值.戌R %尺一
5、 113.如果一个矩形ABCD(ABVBC)中，心0.618,那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在BC 2黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE (如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论 的正确性.14五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm,求EC+CD的长.15人的肚脐是人的身髙的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身髙的比为0.618时，是比较好看的黄 金身段.一个身髙1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)？16.如图所示，以长为2的定线段AB为边作
6、正方形ABCD，取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使 PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD 上.(1) 求AM, DM的长；(2) 点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且APBP，设以AP为边长的正方形面积为S,以PB为宽和以AB为长的 矩形面积为S2，试比较$1与$2的大小.艮P18.如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即也仝戶拯，BE交DC于点F,已知AB=-/5 + l，求CF的长.19图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图2所示的折叠方法
7、进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形 吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由.卫D個1 )DA图2）E20 （如图】），点卩将线段AB分成一条较小线段壮和一条较大线段BP，如果詈舞，那么称点卩为线段AB的黄金分割点,设詈詈k，则及就是黄金比，并且Z618S（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰 APB（如图2）,等腰 APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为:、比口底腰 满足0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地，请你给出黄金矩形的定义:（2）如图1,设AB=1，请你说明为什么k约为0.61 &二善,那么称
8、直线l为该图形的黄金分割线（如匚I（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积 为s的图形分成面积为$和面积为s2的两部分（设s1vs2）,如果丄 图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是厶ABC的黄金分割线吗？请说明理由;（4）图3中的 ABC的黄金分割线有几条？21.在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身髙的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618,越给人 以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身髙的比为0.60，她的身髙为1.60m,她应该选择多髙的髙跟鞋穿上看起 来更美？（精确到十分位）22.已知线段AB,按照如下
9、的方法作图：以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.23如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使 EB落到线段EA 上，折出点B的新位置B,因而EB=EB类似地，在AB 上折出点B使AB二AB.这时B就 是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.24如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE，然后 通过折叠使EB落在线段EA 上，折出点B的新位置F,因而EF=EB
10、.类似的，在AB 上折出点M使AM=AF.则M是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由.25.如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC，已知ZACE=108, BC=2.（1）求ZB的度数；（2）我们把有一个内角等于36。的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）、尺-1等于黄金比一. 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由; 求AD的长； 在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使 PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说 说明理由.低-126宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人
11、赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M, N,连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF丄AD，交AD的延长线于F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.27.在 ABC中，AB=AC,ZA=36，把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要
12、求写画法，不要 求证明.分别画在图1,图2,图3中)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.(2)如图4中，BF平分ZABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于M.试判断CM与AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明.答：CM与AB之间的数量关系是.28.折纸与证明- -用纸折出黄金分割点：第一步：如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2),将AB边折到BF上，得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AGGD)AD29.三角形中，顶角等于36。的等腰三角形称为黄金三角形
13、，如图1,在厶ABC中，已知：AB=AC，且ZA=36 .(1) 在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D,并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)；(2) BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3) 设，试求k的值；ft的值.(4)如图 2, 在A*中，已知 AiBi=AiCi，ZAi=108，且 ABjAB,请直接写出30.如图1,点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课AB AC题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图$ 2形分成两部分，这两部分的面积分
14、别为S1，s2，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1) 研究小组猜想：在 ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是厶ABC的黄金分割线你 认为对吗？为什么？(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3) 研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F,连 接EF (如图3),则直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4) 如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F,显然直线EF是平行 四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分 割点.厂黄金分割专项练习30题参考答案:1. (1)证明:TAB二AC=1,.ZABC二ZC=2(180-ZA)=2(180-36)=722 2TBD平分ZABC交AC于点D, .ZABD二ZCBD二丄 ZABC=36,2/.ZBDC=180-36-72=72 ,.DA二DB, BD=BC,/.AD=BD=BC,易得 BDCsABC,.BC： AC=CD： BC,即 BC2=CD AC,/.AD2=CD AC,点D是线段AC的
