《(完整word版)1.3复数的乘幂与方根》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)1.3复数的乘幂与方根（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 复数的乘幂与方根一、乘积与商定理一 .两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加：z1 z2z1 z2 ； A rg( z1 z2 )A rg( z1 ) A rg( z2 ) 或者 z1 z2 r1 r2ei ( 1 2 ) 。注：定理中A rg( z1z2 )A rg( z1 )Arg( z2 ) 两边是角的集合相等。证明：令 z1r1 (cos 1i sin 1) ， z2 r2 (cos 2i sin 2 )z1 z2 r1 r2 (cos 1i sin 1 )(cos 2i sin2 )r1 r2 (cos1 cos 2sin 1 sin 2 )i
2、 (sin1 cos 2cos 1 sin 2 )r1 r2 cos( 12 )i sin( 12 )y几何意义： 将复数 z1 按逆时针方向旋转一个角度 Arg ( z2 ) 再将其伸缩到 z2倍。z1z2令 z 1 i 由复数乘法的几何意义说明下列2z1复数如何生产：z21. z(1 i 3) ； 2. z(1 i 3)； 3. z(1i )如何得到下列复数：121. 将 z 逆时针旋转 120 度，模扩大三倍ox2. 将 z 顺时针旋转 120 度，模缩小至原来的三分之一定理二 .两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。即：z2z2； A rg(z
3、2) A rg( z2 ) Arg( z1 )z1z1z1注：定理中 A rg( z2 ) A rg( z2 )A rg( z1) 两边是角的集合相等。z11证 明： 由除 法定 义 zz2， 即： z2zz1 。 由定 理一 得 ： z z1z z1 ；z1Arg( zz1) A rg( z) A rg( z1 )z2z2； Arg(z2) Arg( z2 ) A rg( z1 )z1z1z1定理一和定理二如果用复数的指数形式证明则更简单。补充知识： 设 z1 r1ei 1 , z2r2 ei 2 ，则 z1z2r1r2ei ( 12 ) ； z2r2 ei ( 2 1 )z1r1令 z 1
4、 i ，则 z 除以哪个复数可满足下列要求。1. 将 z 逆时针旋转 120 度，模扩大三倍2. 将 z 顺时针旋转 120 度，模缩小至原来的三分之一例 1. 已知正方形 z1 z2 z3 z4的相对定点 z1 (0, 1),z3 (2,5)，求顶点 z1 和 z4 的坐标。z3 2 5i122z22 3 i解： ( z3z1 )z1)z24 i 。(2i ) ( z222z2 4 i同理： ( z4z )(zz )1 (cosi sin)z23i1312444z1i共 n个二、幂与根 n 个相同的复数 z 的乘积，称为 z 的 n 次幂，记作 zn ，即 znz zz设 zre i 由复数
5、的乘法定理和数学归纳法可证明，znr n (cos ni sin )r n ein ，特别地当 z1时，即 z eicosi sin，有：(cosi sin)ncos ni sin n 棣模佛 (De Moivre)公式定义 z n1n，由定义得 z nrn e inz问题：给定复数 z ，求所有的满足nz 的复数。当 z0 时，都有 n 个满足要求。每一个满足要求的都称为 z 的 n 次根。nz ，注：开方乘方的逆运算。2解：设ei由nzneinre inr ， n2k( k Z )nni2kn2k2knzrer (cosni sin) (k0,1,2, n 1)n注：当 k0,1, n1时，可得 n 个不同的根，而 k 取其它整数时，这些根又会重复出现。例2.求 31，664 ，解： 1cos0i sin0 ，3 1cos 02ki sin 02k(k0,1,2)2k2k336 646 64(cosi sin)(k0,1,2,4,5)66例 3. 令 z3i ，求 7z ？解：z2(cos6i sin)62ki sin 62k7 z7 2(cos 67)(k0,1,2,4,5,6)7几何上， n z 的 n 个值是以原点为中心，n r 为半径的圆周上 n 个等分点，即它们是内接于该圆周的正n 边形的 n 个顶点 。3
