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1、向量知识点总结一、教学要求：1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共 线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共 线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用 向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法 向量、向量在平面内的射影等概念。2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运 算及两点间的距离公式。3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量
2、。常用有向线段表示向量向量二要卑向长度（2 ）向量的模一有向线段的长度IABI， I a I长度等于1的向量叫做单位向量,零向量0 （ 0的方向不定），I 0I= 0（3）共线向量（平行向量） 方向相同或相反的向量叫做平行向量或共 线向量。（4）相等的向量规定：0 = 0向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。 规定：零向量与任一向量平行。2. 向量有三种形式（或三种表示）几何表示 几何运算代数表示 代数运算坐标表示 坐标运算3.向量的加法、减法与数乘(1)向量的加法一一三角形法则或平行四边形法则如图，求a + b + c(2)向量的减法：a - b = a + (- b )，即向量a加上b的
3、相反向量。(a-b的箭头指向被减向量)(3)实数与向量的乘积长度I九a 1=1九1 I a IT方向: 九a 0时与a同向九 0时与a反向九=0时，九a = 0探b a （ a丰0 ） o存在唯一实数九，使b = X a4. 向量的运算法则（加、减、数乘）设向量a , b , c及实数X,卩，贝V：T T T T a + b = b + aT T T T T T（a + b ） + c = a + （ b + c ）TT T（X + |lx） a = X a + p aT TT T X （a + b ） = X a + X bTT IX a I=1XI | a IT T T T T T I a
4、 I-I b I I a 土 b I I a I+I b I（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为 三角不等式。5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）T T Te , e是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a，存在1 2TTT唯一实数对X ， X，使得a = X e + X e 。1 2 112 2（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一 对向量的TTT TT T和。X e + X e叫做向量e ， e的线性组合，e ， e叫做表这一平面内所11 2 2 1 2 1 2 有向量的一组基底。基底不唯一，关键是不共线、基底给定，分
5、解形式唯一丿应用：-T -T设OA，OB不共线，点P在直线AB上（即A、B、P三点共线）TTTo OP = X OA+ pOB 且X + p = 1 （X， p eR）（二）向量的坐标运算T T1.在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴同方向的两个单位向量i , j作为基 底，则该平面内任一向量a，有且只有一对实数x, y,使得a = x i + y j ,TTy），即为向量的坐标表称（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a = （x,/示oT（如图，当把向量a的起点移至原点时，（x, y） 坐标，即aC, y）, 也相同。T T是向量a = OA终点A的x,y是向量a在x, y轴上的射影,与
6、a相等的向量的坐标2.向量的坐标运算T已知 a = (x , y ),i iT T(xy1y+y2 y2Tb = (x , y ),九丘 R2 2TTTT则：(1) a + b = (x i + y j ) + (x i + y j )T T(2) a 一 b =T T TBA = a 一 b =x - x , y - y ),设 aC , y ), B(x , y )12 12 1 1 2 2-x , y y )12 12I AB I = (x - x1 2(3)九 a -九C , y )= 6x , Ay )1 iii(三) 平面向量的数量积1.数量积的概念设向量OA = a , OB =
7、 b ,ZAOB = 9叫做向量a与b的夹角。记作 , 0 180(1)数量| a I I b Icos9叫做a与b的数量积(或内积)，记作a b即 a b =I a I I b Icos 9(2 )数量积的几何意义:By0上T TTTTTTa b等于a的模I a I与b在a的方向上的射影I b Icos9的乘积。2.数量积的运算法则TTTTTTT T(1)ab=b a ,a 0 =0 a =0(2 )(九Ta)Tb =T九(a 1T b )T=a(九T)(九G R )TTTTTTT(3)(a+b ) c=a c +b c注意：数量积不满足结合律！(a b ) c 丰 a ( b c )TTa
8、 = (x , y ), b1 1T Ta b(4)=(x , y )，则2 2=C , y ) C , y )= x x + y y- - - - - 1 23.重要性质TT TTTTTT(1)设 e是单位向量，9= ,则e a=a e =I a I cos9TTTT(2)a丄b o ab=0 o x x1 2+y1y 2 =0TTTTTTTTTT(3)ab o ab=I a I Ib I 或ab =-I a IIb I221 21 1o a =九b ( b丰0 )(九唯一确定)T T T b I I a I I b Io x y - x y = 01 2 2 1T 2 TT T(4 ) a
9、 =1 a |2，即I a I =、；x2 + y2 , | a(5)cos0 =I a I IbI（四）定比分点与平移1.线段的定比分点设P C，y ）, P C，y ）,分点pC,1 1 1 2 2 2y)，设P, P是l上两点，P点在l上且1 2不同于P、1成的比。TTP，若存在一实数九，使PP =九PP，贝临叫做P分有向线段PP所2 1 2 1 2（九0，P在线段PP内；九 0，P在PP夕卜）1 2x + Axx = 21 + A y + Ay y1+ A若P为PP中点,1 2X + XX = 22y + yy = t 222.平移TPP = (h，k),，y)= C，由 OP = op + PPy)+Ch, k)平移公式y)
