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1、向量知识点总结一、教学要求:1. 理解向量(平面向量、空间向量)的概念,掌握向量的几何表示,了解共 线向量的概念,掌握向量的加法、减法,掌握实数与向量的积,理解两个向量共 线的充要条件。了解向量的基本定理,掌握向量的数量积及其几何意义,了解用 向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题,理解直线的方向向量、平面的法 向量、向量在平面内的射影等概念。2. 理解向量(平面向量、空间向量)的坐标的概念,掌握向量的直角坐标运 算及两点间的距离公式。3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式,并掌握平移公式。二、知识串讲:平面向量及其运算(一)向量的基本运算1. 有关概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量
2、。常用有向线段表示向量向量二要卑向长度(2 )向量的模一有向线段的长度IABI, I a I长度等于1的向量叫做单位向量,零向量0 ( 0的方向不定),I 0I= 0(3)共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量叫做平行向量或共 线向量。(4)相等的向量规定:0 = 0向量可以在平面(或空间)平行移动而不变。 规定:零向量与任一向量平行。2. 向量有三种形式(或三种表示)几何表示 几何运算代数表示 代数运算坐标表示 坐标运算3.向量的加法、减法与数乘(1)向量的加法一一三角形法则或平行四边形法则如图,求a + b + c(2)向量的减法:a - b = a + (- b ),即向量a加上b的
3、相反向量。(a-b的箭头指向被减向量)(3)实数与向量的乘积长度I九a 1=1九1 I a IT方向: 九a 0时与a同向九 0时与a反向九=0时,九a = 0探b a ( a丰0 ) o存在唯一实数九,使b = X a4. 向量的运算法则(加、减、数乘)设向量a , b , c及实数X,卩,贝V:T T T T a + b = b + aT T T T T T(a + b ) + c = a + ( b + c )TT T(X + |lx) a = X a + p aT TT T X (a + b ) = X a + X bTT IX a I=1XI | a IT T T T T T I a
4、 I-I b I I a 土 b I I a I+I b I(此不等式表示三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,也称为 三角不等式。5. 平面向量基本定理(向量的分解定理)T T Te , e是平面内的两个不共线向量,那么对该平面内任一向量a,存在1 2TTT唯一实数对X , X,使得a = X e + X e 。1 2 112 2(这个定理表明:平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一 对向量的TTT TT T和。X e + X e叫做向量e , e的线性组合,e , e叫做表这一平面内所11 2 2 1 2 1 2 有向量的一组基底。基底不唯一,关键是不共线、基底给定,分
5、解形式唯一丿应用:-T -T设OA,OB不共线,点P在直线AB上(即A、B、P三点共线)TTTo OP = X OA+ pOB 且X + p = 1 (X, p eR)(二)向量的坐标运算T T1.在直角坐标系内,分别取与x轴,y轴同方向的两个单位向量i , j作为基 底,则该平面内任一向量a,有且只有一对实数x, y,使得a = x i + y j ,TTy),即为向量的坐标表称(x, y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a = (x,/示oT(如图,当把向量a的起点移至原点时,(x, y) 坐标,即aC, y), 也相同。T T是向量a = OA终点A的x,y是向量a在x, y轴上的射影,与
6、a相等的向量的坐标2.向量的坐标运算T已知 a = (x , y ),i iT T(xy1y+y2 y2Tb = (x , y ),九丘 R2 2TTTT则:(1) a + b = (x i + y j ) + (x i + y j )T T(2) a 一 b =T T TBA = a 一 b =x - x , y - y ),设 aC , y ), B(x , y )12 12 1 1 2 2-x , y y )12 12I AB I = (x - x1 2(3)九 a -九C , y )= 6x , Ay )1 iii(三) 平面向量的数量积1.数量积的概念设向量OA = a , OB =
7、 b ,ZAOB = 9叫做向量a与b的夹角。记作 , 0 180(1)数量| a I I b Icos9叫做a与b的数量积(或内积),记作a b即 a b =I a I I b Icos 9(2 )数量积的几何意义:By0上T TTTTTTa b等于a的模I a I与b在a的方向上的射影I b Icos9的乘积。2.数量积的运算法则TTTTTTT T(1)ab=b a ,a 0 =0 a =0(2 )(九Ta)Tb =T九(a 1T b )T=a(九T)(九G R )TTTTTTT(3)(a+b ) c=a c +b c注意:数量积不满足结合律!(a b ) c 丰 a ( b c )TTa
8、 = (x , y ), b1 1T Ta b(4)=(x , y ),则2 2=C , y ) C , y )= x x + y y- - - - - 1 23.重要性质TT TTTTTT(1)设 e是单位向量,9= ,则e a=a e =I a I cos9TTTT(2)a丄b o ab=0 o x x1 2+y1y 2 =0TTTTTTTTTT(3)ab o ab=I a I Ib I 或ab =-I a IIb I221 21 1o a =九b ( b丰0 )(九唯一确定)T T T b I I a I I b Io x y - x y = 01 2 2 1T 2 TT T(4 ) a
9、 =1 a |2,即I a I =、;x2 + y2 , | a(5)cos0 =I a I IbI(四)定比分点与平移1.线段的定比分点设P C,y ), P C,y ),分点pC,1 1 1 2 2 2y),设P, P是l上两点,P点在l上且1 2不同于P、1成的比。TTP,若存在一实数九,使PP =九PP,贝临叫做P分有向线段PP所2 1 2 1 2(九0,P在线段PP内;九 0,P在PP夕卜)1 2x + Axx = 21 + A y + Ay y1+ A若P为PP中点,1 2X + XX = 22y + yy = t 222.平移TPP = (h,k),,y)= C,由 OP = op + PPy)+Ch, k)平移公式y)