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1、概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、例:证明:2、对偶率:3、概率性率:(1) (2)(3)4、古典概型5、条件概率例:有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,(1)求取得红球的概率;(2)如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少?6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果:事件A发生或事件A不发生,则称为伯努利试验,即:P(A)=p, (0p1,p+q=1)相同条件独立重复n次,称之为n重伯努利试验,简称伯努利概型
2、。伯努利定理: (k=0,1,2) 事件A首次发生概率为:例:设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。第二章7、常用离散型分布(1)两点分布:若一个随机变量X只有两个可能的取值,且其分布为: (0p0)都是常数。分布函数为:。当称为标准正态分布,概率密度函数为:分布函数为:定理:设其期望E(X)= ,D(X)= 。9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法:先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值,然后通过Y的每一个可能的
3、取值(i=1,2,)来确定Y的概率分布。(2)连续型随机变量函数分布方法:设已知X的分布函数或者概率密度,则随机变量Y=g(X)的分布函数,其中,进而可通过Y的分布函数,求出Y的密度函数。例:设随机变量X的密度函数为,求随机变量10、设随机变量XN(,Y=也服从正态分布.即。11、联合概率分布(1)离散型联合分布:XY PX=p PY= 1(2)连续型随机变量函数的分布:例:设随机变量(X,Y)的密度函数求,D(X+Y).解:当0x2时由,得:,当x2时,由,所以,同理可求得:; E(X)=,由对称性同理可求得,E(Y)=7/6。因为E(XY)= 所以,cov(X,Y)= E(XY)- E(X
4、) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y)=,所以,=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、条件分布:若13、随机变量的独立性:由条件分布设A=Yy,且PYy0,则:,设随机变量(X,Y)的联合分布概率为F(x,y),边缘分布概率为,若对于任意x、y有:,即:,则称X和Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数:设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,边缘概率密度函数为,则对于一切使0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为:,同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为:,若=几乎处处成立,则称X,Y相互独立。例:设二维随机变量(X,Y)的
5、概率密度函数为:,求(1)确定常数c;(2)X,Y的边缘概率密度函数;(3)联合分布函数F(x,y);(4)PYX;(5)条件概率密度函数;(6)PX2|Y0,D(Y)0,则当且仅当存在常数a,b(),使:附注:设e=EY-(,称为用来近似Y的均方差,则:设D(X)0,D(Y)0,有:使均方误差达到最小。18、切比雪夫不等式:设随机变量X的期望E(X)=,方差D(X)=,则对于给定任意正数,有:19、大数定理:设随机变量X,X,X相互独立,且具有相同的期望和方差:,i=1,2,3,则对于任意0,有:20、中心极限定理;(1)设随机变量X,X,X相互独立,服从同一分布,且, i=1,2,3,则:
6、一个结论:(2)棣莫佛拉普拉斯定理:设随机变量X,X,X相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x,有:第二部分 数理统计21、由于样本方差(或样本标准差)很好的反应总体方差(或标准差)的信息,因此,当方差未知时,常用去估计,而总体标准差则常用样本标准差S去估计。22、常用统计分布(1)分位数:设随机变量X的分布函数F(x),对给定的实数22、抽样分布A、单正态总体抽样分布(1)设总体则有:B、双正态总体抽样分布:23、参数估计点估计:,需要构造一个适当的:,然后观察值:来估计,称为的估计量,称为的估计值,估计量和估计值统称为点估计。设是未知参数的估计量,若,则称为的无偏估计量,2
7、4、点估计常用方法(1)矩估计法:先求E(X),得到一个E(X)与未知参数的式子,用E(X)表示未知参数,再把E(X)用代替即可。例:已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。(2)最大似然估计:一般方法:a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点,在最大值点得表达式中,用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。25、假设检验的一般步骤:(1)根据实际问题的要求,充分考虑和利用已知的背景知识,提出原假设及备择假设;(2)给定显著水平以及样本容量n;(3)确定检验统计量U,并在原假设成立的前提下导出U的概率分布,要求U的分布不依赖于任何未知参数;(4)确定拒绝域,即依据直观分析先确定拒绝域形式,然后根据给定的显著性水平和U的分布,由P拒绝|为真=,确定拒绝域的临界值,从而确定拒绝域W;(5)做一次具体抽样,根据得到的样本观察值和所得的拒绝域,对假设做出拒绝或接受的判断。例:水泥厂用包装机包装水泥,每袋额定重量50千克,某日开工后随机抽查了9袋,得其样本均值为499,样本方差为029假设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常()?(已知解:(1)建立假设:=50,:50;(2) 选择统计量:;(3) 对于给定的显著性水平,确定k,使 P|T|k=,查t分布表得:,从而得拒绝域为:|t|2.306.9