《第28练-空间向量解决立体几何问题的两大策略——“选基底”与“建系”》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第28练-空间向量解决立体几何问题的两大策略——“选基底”与“建系”（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第28练空间向量解决立体几何问题的两大策略“选基底”与“建系”题型分析高考展望向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.体验高考1.(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(1
2、)证明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.又ABAD，AB平面ABCD.AB平面PAD.PD平面PAD.ABPD.又PAPD，PAABA.PD平面PAB.(2)解取AD中点O，连接CO，PO.PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO，ACCD，COAD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0).则(1，1，1)，(0，1，1)，(2，0，1).(2，1，0).设n(x0，y0，1)为平面PCD的一个法向量.由得解得即n.设P
3、B与平面PCD的夹角为.则sin |cosn，|.直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)解设M是棱PA上一点，则存在0，1使得，因此点M(0，1，)，(1，)，BM平面PCD，要使BM平面PCD当且仅当n0，即(1，)0，解得，在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.2.(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.解依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，
4、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0).(1)证明依题意，(2，0，0)，(1，1，2).设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则即不妨取z11，可得n1(0，2，1)，又(0，1，2)，可得n10，又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(2)解易证(1，1，0)为平面OEF的一个法向量，依题意，(1，1，0)，(1，1，2)，设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则即不妨取 x21，可得n2(1，1，
5、1).因此有cos，n2，于是sin，n2.所以二面角OEFC的正弦值为.(3)解由AHHF，得AHAF.因为(1，1，2)，所以，进而有H，从而.因此cos，n2.所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.3.(2016课标全国乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.(1)证明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平
6、面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).由已知，得ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C(2，0，).所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3，0，).设m是平面ABCD的法
7、向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.高考必会题型题型一选好基底解决立体几何问题例1如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.(1)证明设p，q，r.由题意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.MNAB，同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|22(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)a2a2a2
8、2()2a2.|a，MN的长为a.(3)解设向量 与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos ，向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为.点评对于不易建立直角坐标系的题目，选择好“基底”也可使问题顺利解决.“基底”就是一个坐标系，选择时，作为基底的向量一般为已知向量，且能进行运算，还需能将其他向量线性表示.变式训练1如图，在四棱锥PGBCD中，PG平面GBCD，GDBC，GDBC，且BGGC，GBGC2，E是BC的中点，PG4.(1)求异面直线G
9、E与PC所成角的余弦值；(2)若F点是棱PC上一点，且0，k，求k的值.解(1)如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系Gxyz，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，4)，cos，故异面直线GE与PC所成角的余弦值为.(2)设F(0，y，z)，则(0，y，z)(，0)(，y，z)，(0，2，0).0，(，y，z)(0，2，0)2(y)0，y.在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，则GM，MC，3，k3.题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题例2(2016山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上
10、底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值.(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0).过点F作FMOB于
11、点M，所以FM3，可得F(0，3).故(2，2，0)，(0，3).设m(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.由可得可得平面BCF的一个法向量m，因为平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.点评(1)建立空间直角坐标系前应先观察题目中的垂直关系，最好借助已知的垂直关系建系.(2)利用题目中的数量关系，确定定点的坐标，动点的坐标可利用共线关系(a)，设出动点坐标.(3)要掌握利用法向量求线面角、二面角、点到面的距离的公式法.变式训练2在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题.(1)求
12、EF的长；(2)证明：EF平面AA1D1D；(3)证明：EF平面A1CD.(1)解如图建立空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E(2，1，0)，F(1，1，1)，(1，0，1)，EF.(2)证明(2，0，2)，AD1EF，而EF平面AA1D1D，EF平面AA1D1D.(3)证明0，0，EFCD，EFA1D，又CDA1DD，EF平面A1CD.高考题型精练1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若xyz，则xyz的值为()A.3 B.1 C.1 D.3答案B解析，x1，y1，z1，xyz1.2.如图，在平行六面体AB
13、CDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()A.abcB.abcC.abcD.abc答案A解析由题意知，ac(ab)abc，故选A.3.在四棱锥PABCD中，(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，则这个四棱锥的高h等于()A.1 B.2 C.13 D.26答案B解析设平面ABCD的一个法向量n(x，y，z)，则令y4，则n(1，4，)，则cosn，|cosn|，h22，故选B.4.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值答案D解析AC平面BB1D1D，又BE平
