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1、 20xx年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1函数的最小正周期为 【答案】【解析】T|2设(为虚数单位),则复数的模为 【答案】5【解析】z34i,i21,| z |53双曲线的两条渐近线的方程为 【答案】【解析】令:,得4集合共有 个子集【答案】8【解析】2385右图是一个算法的流程图,则输出的的值是 【答案】3【解析】n1,a2,a4,n2;a10,n3;a28,n46抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙89909
2、18892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【答案】2【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:方差为:7现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则都取到奇数的概率为 【答案】【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则都取到奇数的概率为8如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则 【答案】1:24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1:2,故体积之比为1:8又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1:3所以,三棱锥与三棱柱的体积之比为1:249抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界
3、) 若点是区域内的任意一点,则的取值范围是 【答案】2,【解析】抛物线在处的切线易得为y2x1,令z,yx画出可行域如下,易得过点(0,1)时,zmin2,过点(,0)时,zmaxyxOy2x1yx10设分别是的边上的点,若(为实数),则的值为 【答案】【解析】所以,11已知是定义在上的奇函数。当时,则不等式 的解集用区间表示为 【答案】(5,0) (5,)【解析】做出 ()的图像,如下图所示。由于是定义在上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x0的图像。不等式,表示函数y的图像在yx的上方,观察图像易得:解集为(5,0) (5,)。xyyxyx24 xP(5,5)Q(5, 5)12在平面
4、直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为 yxlBFOcba【答案】【解析】如图,l:x,c,由等面积得:。若,则,整理得:,两边同除以:,得:,解之得:,所以,离心率为:13在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为 【答案】1或【解析】14在正项等比数列中,则满足的最大正整数的值为 【答案】12【解析】设正项等比数列首项为a1,公比为q,则:,得:a1,q2,an26n记,则,化简得:,当时,当n12时,当n13时,故nmax12二、解答题:本大题共
5、6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)已知,(1)若,求证:;(2)设,若,求的值解:(1)ab(coscos,sinsin),|ab|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)2,所以,coscossinsin0,所以,(2),22得:cos()所以,带入得:sin()sincossinsin()1,所以,所以,16(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足为,点分别是棱的中点求证:(1)平面平面;(2)证:(1)因为SAAB且AFSB,所以F为SB的中点又E,G分别为SA,SC
6、的中点,所以,EFAB,EGAC又ABACA,AB面SBC,AC面ABC,所以,平面平面(2)因为平面SAB平面SBC,平面SAB平面SBCBC,AF平面ASB,AFSB所以,AF平面SBC又BC平面SBC,所以,AFBC又ABBC,AFABA,所以,BC平面SAB又SA平面SAB,所以,17xyAlO(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,点,直线设圆的半径为,圆心在上(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线, 求切线的方程;(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐 标的取值范围解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2)设切线为:,d,得:故所求切线为:(2)设点M(x,y),由,知:,化简得
7、:,即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切故:1|CD|3,其中解之得:0a18(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,CBADMN 乙步行的速度应控制在什么范围内?解:
8、(1)如图作BDCA于点D,设BD20k,则DC25k,AD48k,AB52k,由AC63k1260m,知:AB52k1040m(2)设乙出发x分钟后到达点M,此时甲到达N点,如图所示则:AM130x,AN50(x2),由余弦定理得:MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000,其中0x8,当x(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短(3)由(1)知:BC500m,甲到C用时:(min)若甲等乙3分钟,则乙到C用时:3 (min),在BC上用时: (min) 此时乙的速度最小,且为:500m/min若乙等甲3分钟,则乙到C用时:3 (min),在BC
9、上用时: (min) 此时乙的速度最大,且为:500m/min故乙步行的速度应控制在,范围内19(本小题满分16分)设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和记,其中为实数(1)若,且成等比数列,证明:();(2)若是等差数列,证明:证:(1)若,则,当成等比数列,即:,得:,又,故由此:,故:()(2), ()若是等差数列,则型观察()式后一项,分子幂低于分母幂,故有:,即,而0,故经检验,当时是等差数列20(本小题满分16分)设函数,其中为实数(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论解:(1)0在上恒成立,则, 故:1,若1e,则0在上恒成立,此时,在上是单调增函数,无最小值,不合;若e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,满足故的取值范围为:e(2)0在上恒成立,则ex,故:()若0,令0得增区间为(0,);令0得减区间为(,)当x0时,f(x);当x时,f(x);当x时,f()lna10,当且仅当时取等号故:当时,f(x)有1个零点;当0时,f(x)有2个零点()若a0,则f(x)lnx,易得f(x)有1个零点()若a0,则在上恒成立,即:在上是单调增函数,当x0时,f(x);当x时,f(x)此时,f(x)有1个零点综上所述:当或a0时,f(x)有1个零点;当0时,f(x)有2个零点