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1、第九节离散型随机变量的均值与方差(最新考纲】h理薛礙有限个爭的高敷型随机变1:的均值、方差的龜念；比合求简单再址笙拔机毎的均值*方苣*井 催利用富懒型随机变的均值*方釜槪怎解决一些简草实踊问题.夯实取基1基础梳理1. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(E= Xi) = Pi, i= 1, 2,，n(1) 均值：称 E(X) = Xi pi + X2P2+ XiPi + + xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望.n(2) 方差：称D(X) = 1 (Xi E(X)2pi为随机变量X的方差，其算i = 1术平方根D (X)为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(
2、1) E(aX + b)= aE(X) + b.(2) D(aX + b) = a2D(X) (a, b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X) = pD(X) = p(1 p)X B(n, P)E(X) = npD(X) = np(1 p)|学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打 “X” )(1) 期望是算术平均数概念的推广，与概率无关.()(2) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.()(4
3、) 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某 运动员罚球命中的概率为 0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是 07()答案：(1)x (2)V (3)V (4)X2 .已知X的分布列为()X-101P111236设Y = 2X + 3,贝S E(Y)的值为()7A.3B. 4C. - 1 D. 111 1解析：E(X) = -2 + 6=- 3,E(Y) = E(2X + 3)= 2E(X) + 3=- f + 3=答案：A3.已知某一随机变量 X的分布列如下，且E(X) = 6.3,则a的值为()X4a9P0.50.1bA5 B. 6C. 7 D. 8解析：由分布列性质知：0.5
4、+0.1 + b= 1,/b= 0.4.二 E(X) = 4X 0.5 + a 0.1+ 9 x 0.4= = 7.答案：C4. (2015广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n, p).若E(X)=30, D(X) = 20,贝卩 p=.解析：由于 XB(n , p)，且 E(X) = 30, D(X) = 20,np= 30,1所以解之得p = 3.Inp (1 p)= 20.31答案：；5. (2016河北唐山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量E表示选出的志愿者中女生的人 数，则随机变量E的数学期望E(E =(结果用最简分数表示).C210解析：随
5、机变量E只能取0,1,2三个数，因为P( = 0) = C2 = 10,c5c； 10氏丄P( = 1)= C7 = 21, P( = 2)=c2 = 21.皿10 X 4故 E( S = 1 x 21 + 2x 21 = 7.答案：4名师微博通法领悟 三条性质1. E(ax + b) = aE(x) + b, D(ax + b) = a2D(x)(a , b 为常数).2. 若X服从两点分布，贝S E(X) = p, D(X) = p(1 p).3. 若X服从二项分布，即 XB(n, p)，则E(X) = np, D(X)= np(1 p).三种方法1. 已知随机变量的分布列求它的均值、方差
6、，按定义求解.2. 已知随机变量E的均值、方差，求E的线性函数n= aE+ b的 均值、方差，可直接用E的均值、方差的性质求解.3. 如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布 等)，利用它们的均值、方差公式求解.蟲劇讒高效提能1 _ _狀集训I单城成冊A级基础巩固一、选择题1 . (2016茂名第二次模拟)若离散型随机变量X的分布列为( )X01Pa2 a_22则X的数学期望E(X)=()1A. 2B. 2 或21C2 D. 1a a2解析：由分布列的性质，2+2 = 1,/a= 1.111故 E(X) = 2X 0+ 2X 1 = 2答案：C2. (2014陕西卷)设样本数据X
7、1, X2，X10的均值和方差分别为1和4,若y1 = Xi + a(a为非零常数，i = 1,2,，10),则y ,核， y10的均值和方差分别为()A. 1 + a, 4 B. 1 + a, 4+ aC. 1, 4 D. 1, 4+ a解析：二 E(y)= E(X) + a= 1+ a, D(y) = D(x) = 4.答案：A3. 已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X) = 2.4, D(X) = 1.44,则二项分布的参数n, p的值为()A. n = 4, p = 0.6 B. n= 6, p= 0.4C. n = 8, p = 0.3 D . n= 24, p= 0.1解析：由
8、二项分布 XB(n, p)及 E(X) = np, D(X) = np(1 p) 得 2.4= np,且 1.44= np(1 p),解之得 n= 6, p = 0.4.答案：B4. 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再 放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则 X的方差D(X)的值为（）c.8d.学解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）3的概率均为5,连续摸4次（做4次试验），X为取得红球（成功）的次数， 则XB4, 3 ,3（31 24D（X） = 4X 5X3卜24答案：B5. 口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只
9、球，以X表示取出的球的最大号码，则 X的数学期望E（X）的值是（ ）A. 4 B. 4.5C. 4.75 D. 51 1解析：由题意知，X可以取3, 4, 5, P（X = 3）= C3= 10,c2 3c2 6 3p（x=4）=C3=io, p（x=5）=c3=io= 5,133所以 E（X） = 3X 代+ 4X 代+ 5X 5= 4.5.答案：B二、填空题6.已知X的分布列为X101P11a26设Y = 2X + 1,则Y的数学期望E(Y)的值是.解析：由分布列的性质，a=i26=3，1111-E(X) = np= 3“= 2,.n= 6, X 2+ 0X + 1X 3= g,2因此 E
10、(Y) = E(2X +1) = 2E(X) + 1= 32答案：2(们7. (2016青岛模拟)设X为随机变量，XB n, 丿，若随机变量X的数学期望E(X) = 2,贝S P(X = 2)等于.(1则 P(X = 2) = c214= J03 = 243.答案:80243解析：由XBn, 3 L E(X) = 2,得8. (2014浙江卷)随机变量E的取值为0, 1, 2若P( = 0)=1,E( E=1,则 D(E=,解析：设P(片1)=a, P(片2)= b,+a+ b= 1,a = 5，则5解得 彳a+ 2b= 1,b= 5，1352所以 D(E)5 + 5x 0+ 5x 1 = 5
11、.2答案：25三、解答题9.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立.(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车 主数，求X的数学期望.解：(1)设“购买甲种保险”为事件A, “购买乙种保险”为事件 B, “该地车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”为事件C.由已知条件 P(A) = 0.5, P(BA) = 0.3,又C = A +BA,且A与BA互斥，P(C) = P(A) + P(BA) = 0.5 + 0.3= 08因此该地车主至
12、少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为0.8.(2)设“该地车主甲、乙两种保险均不购买”为事件D，则D = C,P(D) = 1 P(C) = 1 0.8 = 0.2,由于 XB(100, 0, 2),所以X的数学期望 E(X) = 100X 0.2 = 20.10 .一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中 4张卡片上 的数字是1,3张卡片上的数是2,2张卡片上的数字是3从盒中任取 3张卡片.(1) 求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2) X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 X的分布列与数 学期望.(注：若三个数a, b, c满足a b c,则称b为这三个数的中 位数)解：(1)设“
13、所取3张卡片上的数字完全相同”为事件A. 则事件A发生时，则3张卡片的数字均是2或均是1.C： + C3 5由古典概型，P(A) = C3= 84(2)随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3,贝Sc4c5 + c4 17c7c2 1P(X =1) = c9= 42, P(X = 3)= c3 = 12，c!cic2+ c2c6+c3 43P(X = 2) =c9= 84，17143或 P(X = 2)= 1-P(X = 1)-P(X = 3) = 1-42 12= 84.故X的分布列为X123P172312282121743147从而 E(X) =1 X 厶？+ 2 x 84 + 3 X 佃
14、=2&B级能力提升1. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随 机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X) = 3, 则 D(X)=()a5b5c5d5L3解析：由题意，XB5, m + 3j又 E(X)=空3 = 3,/m= 2. m+ 3贝卩 XB5, 5故 D(X) = 5X3x J-55.答案：B2. (2016青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且 相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以 700元为首项，公差为-120元的等差数列，则参与该游戏获得资金 的数学期望为 .解析：由概率分布性质+ 2a1 + 2a1= 1,1a22 a1= 7,从而 2a1 = 7, 4a“ = 7.因此获得资金E的分布列为E700560420P124777124 E( E手700X 7+ 560X 7+ 420X 7=
