《备战2021年上海高考数学复习热点难点突破专题15数形结合思想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2021年上海高考数学复习热点难点突破专题15数形结合思想（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 1 2专题 15数形结合思想专题点拨数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的 严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求根的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等(2)数形结合思想是
2、解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇 特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以 下几点：准确画出函数图像，注意函数的定义域；用图像法讨论方程(特别是含参数的方程 )的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整，以便于作图 )，然后作出两个函数的 图像，由图求解(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；要正确确定参数的取值范围，
3、以防重复和遗漏；精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解 例题剖析一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例 1】 若方程 x24x3m0 在 x(0，3)时有唯一实根，求实数 m 的取值范围【解析】 利用数形结合的方法，直接观察得出结果原方程可化为(x2)21m(0x3)，设 y (x2)21(0x3)，y m，在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示)由原方程在(0，3)内有唯一解，知 y 与 y 的图像只有一个公共点，可得 m 的取值范围1 2 是(3，012x1，x0，【变式训练 1】 已知函数 f(x) 若函数 g(x
4、)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范x22x，x0.围为_【答案】(0，1)【解析】 函数 f(x)2x1， x0 2x1， x0 x22x， x0 （x1）21，x0画出其图像如图所示又由函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，知 yf(x)与 ym 有 3 个交点，则实数 m 的取值范围是(0，1).【例 2】 若实系数一元二次方程 x2ax2b0 有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间 (1，2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；b2(2) 的取值范围；a1(3)(a1)2(b2)2的值域【解析】可将b2a1看作点(a，b)和(1，2)连线的斜率，而
5、 (a 1)2 (b2)2 表示点(a，b)与定点 (1，2)之间的距离的平方方程 x2ax2b0 的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数 yf(x)x2ax2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，且 x x 2b0，f（0）0 b0， 由此可得不等式组f（1）0 a2b10，f（2）0ab20.ABCADCDADCD y x 在如图所示的 aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域 ABC(不包括边界) a2b10，由 解得 A(3，1)，ab20，ab20，由 解得 B(2，0)，b0，a2b10，由 解得 C(1，0)b
6、0，1 1(1)ABC 的面积为 |BC|h (h 为 A 到 Oa 轴的距离)2 2b2(2) 几何意义是点(a，b)和点 D(1，2)连线的斜率a121 1 20k ，k 1，13 4 11b2由图可知 k k ，a11 b2 b2 1 1，即 ，1 .4 a1 a1 4(3)(a1)2(b2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，由图可知，当取点 C(1，0)时有最小值 8，当取点 A(3，1)时有最大值 17，(a1)2(b2)2的值域为(8，17)二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用x10，【例 3】若 x，y 满足约束条件xy0， 则
7、 的最大值为_xxy40，【答案】 3y【解析】 作出约束条件确定的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原xx10 y点连线的斜率，由图可知，点 A 与原点连线的斜率最大联立 ，解得 A(1，3)，所以 的最大值xy401 2 3.x2bxc，x0，【例 4】设函数 f(x) 若 f(4)f(0)，f(2)2，则函数 yg(x)f(x)x 的零点2，x0，个数为_【答案】 3【解析】 图像进行解决将函数方程进行等价变形，转化为两函数在某个范围内有相等的解的问题，再利用函数的由 f(4)f(0)，得 164bcc.由 f(2)2，得 42bc2.联立两方程解得：b4，c2
8、. x24x2，x0，于是，f(x) 在同一直角坐标系内，作出函数 yf(x)与函数 yx 的图像，知它们有 3 2，x0.个交点，进而函数亦有 3 个零点【例 5】 若方程 lg(x23xm)lg(3x)在 x(0，3)内有唯一解，求实数 m 的取值范围【解析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决3x0，原方程变形为x23xm3x，3x0，即（x2）21m.设曲线 y (x2)2，x(0，3)和直线 y 1m，图像如图所示由图可知： 当 1m0 时，有唯一解，m1；当 11m4 时，有唯一解，即3m0.A D max综上可知，实数
9、m 的取值范围是 m1 或3m0. 三、数形结合思想在平面解析几何中的应用【例 6】已知直线 yx2 与圆 x2y24x30 及抛物线 y28x 依次交于 A、B、C、D 四点，则|AB|CD|等于( )A10 B12 C14 D16 【答案】 C【解析】 直线 yx2 恰好经过抛物线 y28x 的焦点 F(2，0)且 x2y24x30 的圆心坐标为(2，0)，半径为 1，则有|AD |AB|CD |2R|AB|CD|AD |2R.yx2 由 x2y28x12x40，知|AD |x x 416，|AB|CD |16214，故选 C. 巩固训练xy30 1已知 x，y 满足约束条件3xy50x3
10、0，则 zx2y 的最大值是_【答案】5xy30【解析】 约束条件3xy50，表示的可行域如图中阴影部分所示：x301 z 1 z 1 z目标函数 zx2y，即 y x ，平移直线 y x ，可知当直线 y x 经过直线 3xy2 2 2 2 2 250 与 x3 的交点(3，4)时，zx2y 取得最大值，为 z 3245.2设奇函数 f(x)在(0，)上为单调递增函数，且 f(2)0，则不等式 xf(x)f(x)0 的解集为_a a a a【答案】(，2)(2，)【解析】由 f(x)f(x)，xf(x)f(x)0.画出 f(x)的简图，如图所示，可知 xf(x)0 的解 集为(，2)(2，)
11、3.已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最 小值时，点 P 的坐标为_1【答案】( ，1)4【解析】 定点 Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P 到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离，问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时，求点 P 的坐标，显然点 P 是直线y1 和抛物线 y214x 的交点，解得这个点的坐标是( ，1)445若 x(1，2)【答案】(1，2时，不等式(x1)2log x 恒成立，则实数 a 的取值范围为_【解析】 设 g(x)(x1)2，f(x)log x，要使当 x(1，2)af(x)log x 的下方即可a时，不等式(x1)2log x 恒成立，只需 g(x)(x1)2a在(1，2)上的图像在当 0a1 时，如图，6要使在(1，2)上，g(x)(x1)2 1a2.a 的取值范围是(1，2的图像在 f(x)log x 的下方，只需 g(2)f(2)，即(21)2log 2，log 21，7已知函数 f(x) x22x，x0， ln（x1），x0， 若 |f(x)|ax ，则实数 a 的取值范围是a 1 a 21 21 a 1 2_.【答案】2，0 【解析】 由 y|f(x)|的图像知：
