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1、精品文档一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用.【知识要点】bc空.、r yXi +=-巧阳1 如果方程 二m - I I （aM 0）的两根为：，二，那么二， 二，这就是一元二次方程的根与系数的关系.2.如果两个数的和为 m，积为n,则以这两个数为根的一元二次方程为.-，；.： + ；.1.1 .3若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根.4. 求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给
2、对称式.cr 丫 = - 0 Xi X = - ） 0程有一正一负根；（2）若，则方程有两个正根；（3）若L匕+ X, = - 0 孟=_0J a ,a ,则方程有两个负根.【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： 求方程中字母系数的值或取值范围； 求代数式的值； 结合根的判别式，判断根的符号特征； 构造一元二次方程解题； 证明代数等式，不等式； 与一元二次方程的整数根有关的问题.【范例解读】题1 （1997 陕西）已知二次方程.I.-.-J.；
3、- / - II （acM0）有两异号实根 m和n,且mn ,| _那么，二次方程:一的根的情况是 （）（A）有两个负根（B）有两个正根（C）两根异号（D）无实数根分析 首先考虑方程的判别式的符号.如果由判别式符号确定方程 有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号.解/ m, n异号且mn ,恸=_ 0 m0,从而二 ，二 II.A方程一 的判别式：二二 一 必有两实根.=(w+ w)a 2 0, 故 方 程设这两个实根为，则由根与系数关系得0 XiXo = - 0r rc,c ，可知勺，巾均为负数，故选(A).题2 (1997 上海)若a和b是方程 ”-的两个实根， c和d是方程： J
4、- 的两个实根，e和f是方程的两个实根，贝y(a - c)(b - c)(a + d)(b + d)总+ /的值为.分析 由已知可得 ab= 3, cd= 3, ef= 3, a+b= -2p, c+d = -2q, * -，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值但若全部展开，结果很繁，因此 考虑局部展开，分步代入.解由方程根与系数关系得2 2ab=3, cd= 3, ef= 3, a+b = -2p, c+d = -2q,.丨，贝U(a - f)(心 c)(.a + 出)(0 + 出)(住B ad - be - cd)(ab +bd - ac -cd)(3
5、 + ad - be - 3)(3 -bd -ac-3) (ad - be)(bd - ac)abd2 - a2cd -b2cd + abc2 _ 3(d2 - a2 -b2 + c2) e+fe+f30+疔 - (4 十3)2 +2ab_ 孔4? _4才).卜+/2(p2 q2)题3 (1996 祖冲之杯)已知a , 3是方程1 1 _ 1的两根，a B ,不解方程，求分析 待求式中a , B是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求 式相对应的代数式一起辅助解决问题.解由根与系数的关系得 a + 3 =7 , a 3 = 8,- “一 ：.-,因 a 3 ,故，：匕一 J
6、.记n:令从而+ 3H x（_/7）=-竺、斤7,84（小）+ （心）2（2000 江苏）已知 _.：、_：- II一一：，其中 m ,n 为实数，则分析 根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构把两个变 元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值.解由已知等式可变形成=02由于m,；.的关系没有给定，故应分两种情况:1m-当门时,11附 H 1当 j.时，可知m,尸是方程-_ _ -的两个根，则由根与系数关系1215/? + = 衢一=-一得 一 1，. j -1m =.111m十一-Am- = I22-4x=8nV 3丿3m =u -综合，得月 或3
7、 .2题5 (1996 江苏)设-J.-.- ； 11的两个实根为a,3,求以丁，匸为根的一元二次方程；(2)若以丁，为根的一元二次方程仍是. ?,求所有这样的一元二次方程.分析 根据方程根与系数关系求.和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p,常数项等于q,可求得p, q的值.解 由根与系数关系得 a +3= p , a 3= q ,所求方程是 ，匚.二 一一 :-II ；(2)由题意得 则PH-0,2 20q01 :一 I根据七种情况的值依次得以下七个方程：X2 = 0 , x2 -x = 0 ,+j= 0 , z3 +1 = 0 , z1 -2t+1= 0 , i3 +
8、2x+l = 0 ,其中仅J + 1 I无实数根，舍去故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：.T -，“ ?： - II，丨一， 二 T -，I - H ,“ - II .题6 (2000 全国)设关于x的二次方程/I； 匚 J I匚丨-的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法 先消去是求得两根后，再求出是的值.解原方程可化为优-4)伙-2)只 + (2k2 - 6 上-4)兀-(上-2)(上 + 2) = 0. (k-4)(k-2)丰0,二 解得方程两根为k2=-1-2 兀t + 2 一 4=上-4. -,k
9、-2k-2k-A -2k2 = 4壬d码+1乃+1由于都是整数，故212-T2-2-5-410对应的k的值分别为6, 3,?.【方法指引】1. 构造对偶式法对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算 (通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解.这种方法 称为构造对偶式法常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等.2. 解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1) 直接求解法.若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解.(2) 利用判别式法.在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法 讨论，不等式分析求解.运用根
10、与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去 待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.(4)巧换主元法.若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求 解. b【综合能力训练】 ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程一 T：,：_：一的两根，那么 m的取值范围是.2.设二，边是方程厂丄T.： J -的两实根，且 1- . ，则k的值是 ()(A)-3 或 1(B)-31(C)1(D)不小于1的一切实数兀2=0八亠3 .若方程一的两根为a , 3，它也是方程? J =的两个根，贝 y p=.a4. 若 abz 1,且有- /及+ 1 二二-则 L 的值
11、是()95.2001.2001(A) 1(B)(C) I (D)5. 在Rt ABC中，/ C = 90，若sinA和sinB是方程I的两根，求/ A 和/ B的度数及k的值.侵區室匡业亘更亘苣昱丄.参考答案【综合能力训练】1 .设另外两边长为 a、b,则”,6. 求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程11匸；的根都是整数。m一，因为a, b是实数，所以 JI,即(T2)2-4x2x 说 0,.以 1S.由三角形两边之差小于第三边，有a-b= J（a +铲-4 必=36-2m lo，故m的取值范围为。2 由根与系数关系得 、二J，小八n ,而（五 +1）（忑2 +1）=杯 +佃 +巫）+1
12、= H + 2 十 2徐+1） +1 = H +2k + 5.由题意得一丄-，解得，1 - - O而当；一 一时，亠一 _.1，无实数根，舍去；当：1时，方程的两个实数根为 1和3。故选（C）O3.由丈:的两根得7:：丁-2滋 4防.由冬是方程- I的两根，得J : 厂，八m 两式相减，得 厂-砂+0X-4。4. 原式可变形为-. ,. - .,1 a,1是方程 5? + 20011 + 门:的两根。故选（A） 5. 由根与系数关系，得Jsin j4 + sin 5 =罷*I sin j4sin = 一上/ A+ / B=90 ,工厂 f .-：于是有sin j4 + cos A =sinA - cosA = -k sin J cos-4 =-由式两边平方，得。 由、式知:.又由、式可得二二是方程-l 的两根，则有_ ，故/ A= / B=456. ( 1)若k=0，则方程为二丨=：，解得二一 一符合题意;(2)若迂/、，设方程的两个整数根为-得二f - -1 , U厂厂二可飞(无巧),则有-1 = 1,-1 = -3, xa _1 = 3, x2 -1 = -1.u 二或* 一-1- - = -2k=1。又当-或k=1时，判别式均可得到综上所述，满足条件的所有k的值有三个，分别为 k=0.2-或 k=1。2；或1。
