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1、量子力学例题第二章一求解一位定态薛定谔方程试求在不对称势井中的粒子能级和波函数1: 薛定谔方程 解故有当 ,处的连续条件利用波函数在由 :处连续条件处连续条件 :由. 为分离能级 ,n值可解一个,给定一个2 粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数体系的定态薛定谔方程为解时当对束缚态解为处连续性要求在代入得将又: 相应归一化波函数为: 归一化波函数为分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为3求束缚态的能级所满足的方程束缚态下粒子能量的取值范围为解时当时当薛定谔方程为令解为当时令解为时 当薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由有,波函数满足的连续性要求不能同时为零要使有
2、非零解则其系数组成的行列式必须为零得方程计算行列式,例题主要类型 : 1. 算符运算 ; 2.力学量的平均值 ;3.力学量几率分布.一 .有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4) (5) 证(1)(2)(3)有,是任一标量算符, 一般地若算符(4)可证明有若算符, 是任一矢量算符一般地 ,(5)=0。同理：2.证明哈密顿算符为厄密算符考虑一维情况 解为实数 ,为厄密算符 , 为厄密算符为厄密算符为厄密算符, 和共同的正交归一化本征函数完备集为3 已知轨道角动量的两个算符共同本征函数 ,和对取试证明 : :也是应本征值。 :分别为证。的本征函数的对应本征值为是的本征函数是的对应
3、本征值为: 又: 可求出有关力学量平均值与几率分布方面. 二1.的一个本征函数并求出相应的(1) 证明 是态中的平均值本征值；(2)x 在求解即的本征函数。本征值是2.的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数设粒子在宽度为a描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】的一维无限深势井的能量本征函数a 宽度为是否归一化波函数: 注意能量本征值的几率出现 ,出现的几率能量平均值另一做法时的归一化波函数为3. 一维谐振子在的）是谐振子的能量本征函数，求（所描写的态中式中，式中1时系统的波函数2 数值；）在）；态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（ 3时能量的可能值相应的概率及平均值）（ 4
4、， 归一化， 解(1) ,，（2），；， ； ，时，）3（所以：）。时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（24设氢原子处于状态求氢原子的能量, 角动量平方以及角动量z 分量的可能值 , 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解能量本征值能量本征态当 n=2时本征值为的，100 出现的几率为。 出现的几率分别为：可能值为试求下列期望值和下共同的本征态5 .在轨道角动量 ,. (1). (2);： 解测不准关系三为常数 , 求粒子的动量的平均值, 1. 粒子处于状态并计算式中测不准关系先归一化 解(1)动量平均值(2)(3)附:常用积分式：） 1（）（ 2）（3第四章例题力学量的矩阵表示1
5、及动量算符和构造成算符由坐标算符的归一化本征矢的物理意义和下的期望值； 2）.试分别： 1）.求和给出在态已归一化.【解】（ 1）设态矢（粒子位置几率密度）（2化到坐标表象）（利用又： ,上式试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符2.的本征值为 0. 和 12 是厄密算符，（） .有 3，（）（ 1） .厄密算符的定义1 【证】（） .为厄密算符(2) 已归一化的本征值方程由 （3）.,又：即：（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基3.态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）
6、所描述的状态，基态波函数【解】表象： x 在.） 1（动量表象： 2） .（ 3） .能量表象同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的 .的矩和的共同表象，在角动量空间中写出, 取4.）阵（本题主要考查算符矩阵的求法【解】,的共同本征函数为空间在, ）.（1同样）（2:利用: 利用正交归一条件同样（3）利用 :矩阵 :矩阵,试求出已知体系的哈密顿量5.体系能量本征值及相应的在） .所在的表象的正交归一化的本征矢组.（ 1对角化，并给出对角化的么正变换矩阵将（2）.【解】.久期方程（1）,解之设正交归一的本征矢对应于归一化本征矢对应归一本征矢同样 :即为 的本征函数集.对角化后，对角元素即为能量本2（）转换矩阵为对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函将算符矩阵证明：6数矢量。【证】算符的本征矢：
