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1、测绘信息网http:/9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n个观测值的平差值作为未知数，列出v个未知数的条件式，在情况下，用条件极值的方法求出一组v值，进而求出平差值。9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。当有个多余观测时，则平差值 应满足个平差值条件方程为： （9-1） 式中、（=1、2、）为条件方程的系数；、为条件方程的常项数以（=1、2、）代入(9-1)得条件方程 （9-2） 式中、为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即 （9-3）令 则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式
2、为 （9-4） （9-5）上改正数条件方程式中的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在的无穷多组解中，取= 最小的一组解是唯一的，的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，设 ，称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数： 将对求一阶导数，并令其为零得： （9-6） 上式称为改正数方程，其纯量形式为 （=1、2、） （9-7） 代 入 得 （9-8）上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距阵，为 （9-9） 因 故，是阶的对称方阵。法方程的纯量形式为 （9-10）从法方程解出联系数后，将值代入改正数方程，求出改正数值，再求平差值，这样就
3、完成了按条件平差求平差值的工作。9.1.2 精度评定当各被观测量的平差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进行评定，下面来讨论这个问题。1.单位权中误差条件平差中单位权中误差 （9-11） 或 （9-12）从中误差计算公式可知，为了计算，关键是计算。下面将讨论的计算方法。（1）、由直接计算 （9-13）（2）、由联系数及常数项计算因 故 （9-14） （3）、直接在高斯杜力特表格中解算将（9-4）的矩阵方程写为纯量形式则有 令 则 （9-15） （2）平差值函数的权倒数设有平差值函数为 （9-16）它的权函数式为： （9-17）令 则 （9-18） （9-19）这就是高斯约
4、化表中 的计算公式，其规律与计算规律完全相同。9.2 条件方程列立及线性化9.2.1 水准网水准网平差的主要目的，是确定网中未知点的最或然高程。例如图(9-1)的水准网中，有四个已知水准点(图中以“”表示的点)，两个未知点（图中以“”表示的点），并有六个观测值。从图中可以看出，要确定和点的高程，必须观测两个观测值，如和，或个数。图（9-1）中必须观测个数， 而条件方程个数图9-1 图9-2如果水准网中无知点，这时只能假定某点的高程为已知并此为基准，去确定其次各点的相对高程。例如图(9-2)的水准网中，其中没有已知水准点，这时，通过平差计算，只能确定各点的相对高程。为此，可先假定某一点高程值为已
5、知，例如设m并以此为基准，去确定、等点的相对高程。这样，只要观测三个观测值就行了，所以，在没有已知点水准网中，必须观测个数等于网中全部未知点个数减去1。图(4-2)水准网中，必须观测个数, 而条件方程个数为。例(9-1)如图（9-3)所示的水准网中，、为已知点，及为未知点，为观测高程，试列条件方程。解：未知点个数=3 按照水准闭合环平差后高差之和应等于零的关系，列出3个闭合环条件方程，又按照平差后高差与已知高差高应相等的关系，列出1个附合条件方程，它们是 （1） （2） （3） （4）相应的改正数条件方程为 式中 图9-3 9.2.2测角网如图（9-4）的测角网，其中、为已知点，或者是已知或点
6、坐标及边长和方位角，、为待定点，共观测了9个水平角（1，2，3），根据两个已知点来确定一个待定点，至少需要观测两个角，或者两条边，或者一个角和一条边，因此确定一个待定点的必要观测值为两个，若网中有个待定点，则必要观测个数为待定点（未知点）个数的两倍。于是，图（9-4）中，必要观测个数，则多余观测个数。故总共应列出5个条件方程。另外，如果网中没有已知点，或者不具备四个起算数据，则一个点的坐标（）和一条边的方位角可以是假定或是已知的，而一条边的边长是必须测定的，这就等价于已知有两个已知点的测角三角网，若设网中共有个三角点，则必要观测个数。测角网的基本条件有三种类型，现以此例说明。一类是三角形内角和
7、条件，通称图形条件，由该图列出三个图形条件，即 将 （1，2，3）代入上式得： 图9-4其中 一类是圆周角条件或称水平条件，由图（9-4）可列出一个圆周条件，即 或 式中 一类是极条件或称边长条件即 这个条件方程是围绕中点推算边长的，故称为以点为极的极条件方程。此方程为非线性形式，将其线性化是按台劳公式展开取至一次项，即可得线性形式的极条件方程，经化简得：=0 9.3 水准网按条件平差算例在图(9-5)所示水准网中,两点高程及各观测高差和路线长度列于表(9-1)中。图9-5 表9-1观测号观测高差(m)路线长度（km）观测号观测高差(m)路线长D （km）已知高程（m）12341.3592.0
8、090.3630.64011225670.6571.0001.650112试求： （）、及点高程之最或然值； （）、点间平差后高差的中误差。解:(1)列条件方程式,不符值以“mm”为单位。已知，故，其条件方程式为 （2）列函数式： 故 （3）组成法方程式。1）令每公里观测高差的权为1，按1/,将条件方程系数及其与权倒数之乘积填于表9-2中。2)由表9-2数字计算法方程系数,并组成法方程式:+=0表9-2 条件方程系数表观测号11112-11003-1-1-14-110051-10116-110071-1001-1-110 011 1观测号1111121-1132-2-2-242-22511-11161-11722-210-31-1 -110 0 （4）法方程式的解算。 1）解算法方程式在表9-3中进行。 2）计算之检核。 由表9-3中解得，两者完全一致，证明表中解算无误。（5）计算观测值改正数及平差值见表9-4。（6）计算点高程最或然值。mmm表9-3 高斯-杜力特表格行的符号 3.00 =-0.441-1.000.3334.003.67=3.35000-1.00-1.000.2725.004.73=2.199-1.000.
