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1、把握知识的交汇点 充分发挥导数的作用江苏省梅村高级中学 刘斌（214112） 导数、变化率是数学历史上一个重要的转折，由此数学发展到了变量数学的新阶段，开辟了数学研究的崭新天地，是具有划时代意义的里程碑。在高中数学新教材中增加导数的内容，为高中数学注入了新的活力，一方面有利于沟通初高等数学知识，另一方面可以加强对学生由有限到无限的辨证思想的教育。由于导数知识具有很强的网络交汇能力，它易与解析几何、不等式、函数等各分支的知识网络交汇，因此在网络交汇点处设计层次不同，难度可控的题目以考查学生对知识的整体把握和综合能力就成为新教材高考的一个热点。一.用导数研究解析几何问题 导数的引入，拓宽了解决解析
2、几何问题的思路。导数的几何意义是曲线y=f(x)上点处切线的斜率。解析几何的一些最值问题可以用导数来处理，避免解析几何中的一些繁琐的计算。例1 设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴的距离取值范围为( )分析：本题在导数的实际背景之一的切线斜率和倾斜角概念以及抛物线对称轴方程之间的关系来命题的。解：由，从而， 则曲线在点处切线斜率， 又曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为， 故有0k1，即01，而P到曲线对称轴的距离为，所以取值范围为，选B)。例2 在抛物线上求一点，使它到原点O的距离最小，并求出其最小值。分析：本题是圆锥曲线求最值的一类常规题目求圆锥曲线上动点到某定点的距离的
3、最值问题。解：设是抛物线上任一点，则 不妨设S=，则令，得 经判断可知，当时,S取到极大值；当时，S取到极小值。又因为，所以只需比较即可。 当时，；当时，而由此抛物线上点到原点的距离最小，最小值为。例3 如图所示，曲线段OMB是函数的图象，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q。试用t表示切线PQ的方程；试用t表示QAP的面积g(t),若函数g(t)在(m,n)上单调递减，试求出m的最小值；若，试求出点P横坐标的取值范围。解：切线斜率k=，则切线方程为，即切线PQ方程为。令得；令，由，得，又，又已知在上单调递减，故。当时，在上单调递增，解方程，不难解得符合。，又点P的
4、横坐标，即P点横坐标的取值范围为。二.利用导数研究不等式问题 不等式证明是高中数学中的重要内容，也是不等式的难点，虽然证明不等式有众多方法，但有些问题也很难下手，而导数这一工具性知识的引入，为我们证明不等式开辟了一条新的路径。例4 （2003江苏卷21题）已知,n为正整数。 设，证明：； 设，对任意na，证明：。解：，从而当时，故当时，是关于x的增函数。因此当na时， 。即对任意na，。例5 已知函数（b,c为常数），若在x=1和x=3处取得极值，试求b,c的值；若在上单调递增且在上单调递减，又满足，求证：；在(2)的条件下，若,试比较与的大小，并加以证明。解：由题意可求在x=1和x=3处取得
5、极值，的两根为1，3从而有，。若在上单调递增且在上单调递减，说明是方程的两根，则有，从而有，即，。由(2)的条件，有，从而有，又，从而。三.利用导数研究函数问题 从近几年的全国高考新课程卷的命题来看，利用导数求函数单调区间、极值和最值的研究函数性态的数学试题有上升的趋势。在这类试题中，导数只不过是一种工具，是创设这类试题情景的一种取向，求导的过程并不难，它不是这类试题的最终落脚点，它的最终落脚点是考查函数的性质及等价转化，分离变量，分类讨论等重要的数学思想方法。因此，老教材高考的重点和难点，仍是新课程高考复习的重点内容。例6 已知函数，问是否存在实数a，使在上减函数，且在上是增函数？分析：高次
6、函数的单调性问题，利用导数研究，解法十分简捷。解：，要使在上是减函数，且在上是增函数，必有，即，此时，当时，；当时，例7 设函数的图象关于原点对称，且时取极小值。求a,b,c,d的值；当时，图象上是否存在两点，使过此两点处的切线互相垂直。试证明你的结论；若，求证：。分析：利用导数可以研究函数的很多性质，如研究函数的解析式，函数的单调性以及函数的极值和最值等问题。解：由函数图象关于原点对称可知 又时取极小值，则两切线斜率可设为两切线要互相垂直必须满足，而是不可能的，故当时，图象上不存在两点，使过此两点处的切线互相垂直。，时在上单调递减，从而，当，有。总而言之，将导数与一些传统内容，尤其与圆锥曲线，不等式，函数等有机的结合在一起设问，使得试题新颖别致，不仅囊括了众多数学知识，而且融入了丰富的数学思想方法。解法多样，灵活多变，能有效地考查学生的数学素养和应用数学知识的能力。鉴于此，高考复习时，要多加强这方面的训练。7
