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1、2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式 一基本内容1排列与逆序.定义：由n个自然数1, 2,3,., n组成的无重复有序实数组称为一个n级排列。定义：在一个n级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。个n级排列VL,in中逆序的总数，称为n级排列的逆序数,对于逆序，我们感兴趣的是 记作工C，i）。2.12n行列式的定义n 2个数aij（匚j =1，2,，n ）排成的行列的方形表aa a11121naa a21222 n aaan1n2nnij= 工 (_1片(人心，,jn)a a 1 j1 2 j2j1，j2，,jnanjn称为一个 n 阶行列式。它表示
2、所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。3. 行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4. 行列式的余子式、代数余子式划去元素爲所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为a.的余子式，记 为M ，称A = （_1+jM 为a.的代数余子式。ijijijij5. 行列式的展开(1) 展开定理D = a A + a A +a A = a A +
3、a A +a Ai1 i1i 2 i 2in in1 j 1 ji = 1,2,nj = 1,2,n(2)行列式某一行(列)每个元素与另一行a A + a A + a A = 0k丰ik 1 i1k 2 i 2kn ina A + a A + a A = 0k丰i1k 1i2 k 2 ink ni二.基本结论( 1)aa*1111aa*22=22aannnn( 2)a1naa2( n _1)=2( n _1)aa*n1n12 j 2 jnj nj（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。a11a=22*anna*a1n1n*a2( n _1)=*an1三. 基本题型与基本方法题型 1：行列式
4、的计算：行列式基本方法：利用性质及展开 具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例4124D =120233200112a1o1ain+1方法二：降阶法（利用展开降阶） 例a + x a a a1234一 xx00D =40-xx 000-x x第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容 1矩阵概念1）定义 aaaA = C ）=ij mxn11121naaa21222n9 aaa 丿m1m 2mn2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：5）对称矩阵、反对称矩阵： 2矩阵的运算 1）
5、线性运算：加法与数乘2）乘法： （1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算 （1）方阵的幂及其运算律 （2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论 1伴随矩阵的相关结论 2分块矩阵的逆第二节 可逆矩阵一、基本内容 1可逆的定义：2阶矩阵可逆的充要条件：3性质： 二、基本题型与基本方法题型 1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵） 方法一：公式法求逆 方法二：初等变换求逆：方法：例厂22 3、A =11 0-12 1丿方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n阶矩阵满足A2 + A 4E = 0 求（A E）-1第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容
6、1初等变换的定义：2初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵 3初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系） 4矩阵等价1）定义：2）性质：5矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩 二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩 基本方法：初等变换法 对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。例 求矩阵的秩r 1111、A =011b23a4 n时向量组一定线性相关(5) 匕,a2，,a线性无关，巴,a2，,aP线性相关，则卩可由a ,a，,a线性表示。12n12n12n二、基本题
7、型与基本方法题型1：向量组线性表示的判定例题型 2：向量组线性相关性的判定例判定向量组a = (2,3,0)T a = (1,4,0)T a = (0,0, 2)t的线性相关性。123第二节 向量组的秩一、基本内容1极大线性无关组与秩定义：2向量组之间关系的描述(向量组等价)二、基本题型与基本方法 题型：求向量组的极大无关组与秩 方法：定义法、初等变换法(以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作初等行变换，化为阶梯形)例：设向量组 a = (1,2,3, 1)T a = (3, 1,5, 3)t a = (5,0,7, 5)t a = (2,1,2, 2)t1234求(1)向量组的秩及一个极大无关
8、组( 2)把其余向量用该极大无关组表示出来第四章 线性方程组 第一节 齐次线性方程组一、基本内容1.齐次线性方程组的定义：a x + a x + a x = 011 112 21n na x + a x + a x = 0ml 1 m2 2mn n2方程组的解：1) 解的形式：零解、非零解2) 解的线性性质：( 1)2)3解的判定：A x = 0mxn仅有零解O有非零解O 4解的结构：1) 基础解系的定义：2) 基础解系特点及求法对于方程组a x = 0 ,若 厂（A）二厂n则其一定有基础解系，且基础解系中一定含有mxnn- r个向量，故A x = 0的通解为x = kg+ k g + k g
9、mxn1 1 2 2nr nr二、基本题型与基本方法题型：求的基础解系与通解方法：具体的，利用初等变换法解方程组 抽象的，利用解的性质及结构例求x x x + x = 01234v x x + x 3 x = 01234x x 2 x + 3 x = 01234的基础解系与通解第二节 非齐次线性方程组1非齐次线性方程组的定义：2方程组的解：1）解的形式：无解、仅有一个解、无穷多个解2）解的线性性质：（1）（2）3解的判定：4解的结构二、基本题型与基本方法题型：求解 Ax = b求解方法：具体的，利用初等变换法解方程组 抽象的，利用解的性质及结构 例x x + 2 x + 2 x = 11234
10、v 2x +x +4x +x =51234x 2 x 2 x + x = 41234第一节 方阵的特征值与特征向量一、基本内容1内积（向量之间的一种运算）定义：2正交组的概念：（1）向量正交的定义：（2）正交组、正交组与线性无关组的关系：3Schmidt 正交化方法：4特征值与特征向量1）定义2）求法3）特征值与特征向量性质：（1）九 + 九九=a + a +a = tr （A） 九九 九=|A|12n 1122nn12n2）关于特征向量的线性无关性：属于不同特征值的特征向量一定线性无关具体表现为：二、基本结论A = （a ），九是其特征值，若f （A） = a Am + a A + a E
11、，贝9 f （A） 一定有特征值/（九）m10三、基本题型与基本方法 题型：求特征值与特征向量 具体矩阵：利用特征多项式、特征方程法 抽象矩阵：定义法、利用上述性质与结论求解 例厂32 4、A =202,4 2 3 第二节 相似矩阵与矩阵对角化一、基本内容1相似矩阵1）定义：2）相似的性质：（1）AB二A,B有相同的：（2）A B n2 矩阵对角化1）定义：2）对角化的条件（ 1）充要条件：（ 2）充分条件：二、基本题型与基本方法 题型：对角化的判定与计算 例厂1-33、厂 122、A=3 -5 3A=2 1 2,6-64,2 2 1 丿第六章 二次型 一、基本内容 1可逆（非退化）线性替换与正交替换x = c y Hb c y111 11n nX = CYx = c y bb c ynnl 1nn n2合同矩阵1)定义：2)等价、相似、合同的关系： + a x2nn n
