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1、高中数学高考总复习 专题二十二 抛物线一、 知识网络 二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题。三、知识要点（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2.推论：抛物线的焦点半径公式设 为抛物线 上任意一点，则 设 为抛物线 上任意一点，则 其它情形从略。（
2、二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程： 认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.2.几何性质对于抛物线 （1）范围： 这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：关于x轴对称 轴为这条抛物线的
3、轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率： （抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）；焦点 ，准线 ；顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）；焦点 ，准线 ；（2）顶点在 ，对称轴垂直y轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；顶点在 ，对称轴垂直x轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；2.抛物线的焦点弦设 且PQ为抛物线 的一条经过焦点的弦.（1）弦端点
4、同名坐标的关系 （课本P119） （推导上述命题的副产品： ，其中k为直线PQ的斜率）（2）焦点弦长公式（） （课本P118例3引申）。（）设直线PQ的倾斜角为 ，则 故有： （3） 的面积公式： ；（4）焦点半径 与 的关系 （定值）（5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P123 6，P133 2。（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式的考察：直线与抛物线交于不同两点 直线与抛物线交于一点 （相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交 四、抛物线经典例题例1
5、、（1）抛物线 的焦点坐标为 ；（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ；（3）经过抛物线 的对称轴上一点 作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为 ，则B点纵坐标为 .分析：（1）将抛物线方程化为标准方程切入当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为 .（2）这里 .注意到焦点半径 在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。注意到点A在x轴下方，因此，（）当抛物线焦点在
6、x轴正半轴上时，设抛物线方程为 ，则 又点A在抛物线上，则 由，得： 或 由得：p=9或p=1抛物线方程为： 或 （）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为 ，则 ，且 仿（）解得 p=1或p=9抛物线方程为 或 （）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为 ，则 ， p=4此时抛物线方程为 于是综合（）、（）、（）抛物线方程为 或 或 .（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级经过抛物线 的对称轴上一定点 作抛物线的弦AB，若设 ，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。设弦AB所直线方程为 由与 联立，消去x ： （）应用上述结论，当a=p， 时，由得 B的纵坐标为4p例2
7、 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得 ，解得p=2或p=6。注意到p=6时，抛物线方程为 ，此时若x=2，则 ，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为 ，当x=2时， ，符合此时的情形。（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN准线l于点N， ，得 ，解得 易验证抛物线 符合此
8、时情形。于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2）导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A在什么位置，总得 成立，本题进行的检验是必要的.例3、经过抛物线 的焦点作弦AB.（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.解：（1）设 由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为 将代入 消去x得： 由韦达定理得： 又由题意得 （或
9、 ） 由得： 将代入解得： 所求直线方程为： 或 .（2）证明：由题意抛物线焦点 ，准线 ；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则 注意到C，D两点在抛物线上 过C，D分别作 于G， 于H则又有 由 、知 ，即四边形CDHG为矩形 轴 轴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平分线。点评：（）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点F分成的线段比为3：1（或 ）；二是以 为基础构造并寻觅出 和 的关系式，从而为利用式创造了条件.（）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.例4、如图，已
10、知抛物线 的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值；（2）在（1）的条件下，若 ，求动点R的轨迹方程。分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q坐标“既设又解”。解：（1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 把代入抛物线方程 得 由题意： 恒成立且 由题设得 、代入得： 此时p=2当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=4，将x=4代入抛物线方程 得： .由 得 此时亦p=2于是综合以上讨论得p=2.（2）解法一（既设又解）：设动点R坐标为（x,y），由（1）知p=2，F(1,0) 由 得： 由、得：
11、 由、消去参数得： 当直线l垂直于x轴时，有 ，从而点 满足 因此，所求动点R的轨迹方程为 .解法二（设而不解）：由（1）所设 . 得： 又 两式组合得： ，即 当 时得： 注意到 得 四边形PRQF为平行四边形.线段PQ与FR互相平分设FR中点为M，由得 再注意到P、Q、M、A四点共线 由、得： 而当 时， 适合式于是可知，所求动点R的轨迹方程为 .点评：对于（2）解法一“既设又解”的思路，过程简略，不需认知条件 几何意义，便可导出动点R的条件， 的几何意义以及P、Q、M、A四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。例5、直线l与抛物线 交于A、B两点，O为原点，且有 .（1）求证：直线l恒过一定点；（2）若 ，求直线l的斜率的取值范围.（3）设抛物线焦点为F， ，试问：角 能否等于 ？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，试说明理由。分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B坐标“既设又解”，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入.解：（1）设 ，则有 由 得 注意到这里 ，由得： ，故由得 ， （）当直线l与x轴不垂直时，设其方程为 ，将其与抛物线方程 联立，消去x得： 由题意： 且 由，得： 直线l的方程为 ，可见直线l过定点(2,0)。（）当 轴时可得 ，直线l方程为 ，亦过定点(2,0)。综上可得，直线l恒过定点(2,0)。（2）由（1）得： 由 得： 所求k
