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1、1. 【分享】数学公式终极总结容斥原理涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算： 一的个数+二的个数都含有的个数总数都不含有的个数【例3】某大学某班学生总数为 32人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国2004B-46】 A.10 B.4 C.6 D.8应用公式26+24-22=32-X X=4 所以答案选B【例9】某单位有青年员工 85人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东 2004-1
2、3】 A.57 B.73 C.130D.69 应用公式： 68+62-X=85-12 X=57人抽屉原理：【例1】在一个口袋里有10个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？【北京应届2007-15】A.14 B.15 C.17 D.1849.采取总不利原则 10+4+1=15这个没什么好说的剪绳问题核心公式 一根绳连续对折N 次，从中M 刀，则被剪成了(2NM+1)段 【例5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？【浙江2006-38】 A.18段 B.49段C.42段 D.52段 23*6+1=49 方阵终极
3、公式假设方阵最外层一边人数为N，则一、实心方阵人数=NN 二、最外层人数=（N1）4 【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？【国2002A-9】【国2002B-18】 A.256人 B.250人 C.225人 D.196人 （N-1）4=60N=1616*16=256所以选A【例3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙江2003-18】 A.600人 B.615人 C.625 人D.640人 （N-1）4=96 N=25N*N=625过河问题：来回数=（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）*2+1次数=
4、（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）+1【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？【广东2005上-10】 A.7次B.8次C.9次D.10次 37-1/5-1所以是9次 【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7人的橡皮船，过一次河需3 分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ）【北京应届 2006-24】 A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=1515*3=45【例4】有一只青蛙掉入一口深10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出? A.7 B
5、.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7核心提示 三角形内角和180N 边形内角和为（N-2）180【例1】三角形的内角和为180度，问六边形的内角和是多少度？【国家2002B-12】 A.720度B.600度 C.480度 D.360度 （6-2）180=720盈亏问题：（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈： （大盈-小盈）（两次每人分配数的差）=人数（3）两次都是亏： （大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数（4）一次亏，一次刚好：亏（两次每人分配数的差）=人数（5）一次盈，一次刚好：盈（两次每人分配数的差）=人数例：“小朋友分桃子，每
6、人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）（10-8）=162=8（个）人数 108-9=80-9=71（个）桃子还有那个排方阵，一排加三个人，剩29人的题，也可用盈亏公式解答。行程问题模块平均速度问题V=2V1V2/V1+V2【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少？【国家1999-39】 A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，则它的平均速度为多少千米
7、/时？【浙江 2003-20】 A.24千米时B.24.5千米时C.25千米时D.25.5 千米/时 2*30*20/30+20=24比例行程问题路程速度时间（ 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ）路程比速度比时间比，S1/S2=V1/V2=T1/T2运动时间相等，运动距离正比与运动速度 运动速度相等，运动距离正比与运动时间 运动距离相等，运动速度反比与运动时间 【例2】A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点
8、离A、B两站的距离比是1516，那么，甲火车在什么时刻从A站出发开往B站。【国2007-53】 A.8时12分B.8时15分C.8时24分D.8时30分 速度比是4：5路程比是15：1615S：16S5V : 4V 所以T1:T2=3:4 也就是45分钟60-45=15 所以答案是B在相遇追及问题中： 凡有益于相对运动的用“加” ，速度取“和” ，包括相遇、背离等问题。 凡阻碍相对运动的用“减” ，速度取“差” ，包括追及等问题。 从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行
9、150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（）【北京社招2005-20】 A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米X/90+X/210=10X=630某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】 A.10米/秒B.10.7米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分 核心提示 列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度1000+X=120V1000-X=80V
10、解得 10米/秒为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？15顿和12顿都是超额的，所以62.5（3X5）例1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？ A.5.5小时 B.5小时C.4.5小时 D.4小时假设有m个人（或者m组人），速度v1，一个车，速度v2。车只
11、能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。T=(S/v2)*(2m-1)v2+v1/v2+(2m-1)v12. 【分享】排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ C5取3（543）/（321） C6取2（65）/（21） 通过这2个例子 看出 CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母 P53543 P66654321 通过这2个例子 PMN从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当NM时 即M的阶层 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (mn)个元素，有序和无序
12、摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分
13、成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： “相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式
