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1、 范文范例参考数列大题专题训练11已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求满足方程的值.【解析】试题分析：（1）由与关系求数列的通项公式时，注意分类讨论：当时，；当时，得到递推关系，再根据等比数列定义确定公比，由通项公式求通项（2）先求数列前项和，再代入求得，因为，从而根据裂项相消法求和，解得值试题解析：（1）当时，当时，即.（2），即，解得.考点：由与关系求数列的通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相
2、邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如(n2)或.2已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且,成等差数列（1）求的通项公式；（2）若数列满足为数列前项和，若恒成立，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知: ；（2）由，再由错位相减法求得,为递增数列当时，又原命题可转化的最大值为试题解析： （1）由题意可知:,即,于是（2）, ,- 得:,恒成立，只需,为递增数列，当时，的最大值为考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列的前项和；4、数列与不等式【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思
3、想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型第二小题首先由再由错位相减法求得为递增数列当时，再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为3已知数列中，其前项和满足，其中（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前项和求的表达式；求使的的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）；，且【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用错位相减法推证；（2）借助题设运用函数的单调性探求试题解析：（1）由已知，即，数列是以为首项，公差为的等差数列，（2），-得：，代入不等式得，即，设，则，在上单调递减，当时，当时，所以的取值范围为，且
4、考点：等差数列等比数列及函数的单调性等有关知识的综合运用4为等差数列的前项和，且，记其中表示不超过的最大整数，如，（1）求；（2）求数列的前1000项和【答案】（1）， ；（2）1893【解析】试题分析：（1）先求公差、通项，再根据已知条件求；（2）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1000项和试题解析：（1）为等差数列的前项和，且，可得，则公差， ，则，（2）由（1）可知：，数列的前1000项和为：考点：1、新定义问题；2、数列求和【技巧点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新
5、”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点5已知数列的前项和为，且（），数列满足（）. （1）求，；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）,【解析】试题分析：（1）由可得，当时，可求，当时，由可求通项进而可求；（2）由（1）知，利用乘公比错位相减法求解数列的和.试题解析：（1）由，得当时，；当时，所以，.由，得，.（2）由（1）知，所以，所以.故,考点：等差数列与等比数列的通项公式；数列求和.6已知等比数列的公比，且成等差数列，数列满足：（1）求数列和的通项公式；（2）若恒成立，求实数的最小值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列
6、的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得，再将换为，两式相减可得；（2）若恒成立，即为的最大值，由作差，判定函数的单调性，即可得到最大值，进而得到的最小值试题解析：（1）因为等比数列满足：成等差数列，所以：，即，所以：，所以（因为）所以，因为：，所以当时，有，-得：，所以，当时也满足，所以（2）若恒成立，则恒成立，令，则当时，当时，当时， 所以的最大值为，所以，的最小值为考点：等比数列的通项公式；数列的求和7已知数列，其前项和满足，其中（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，为数列的前项和，求证：；（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立【答案】（1）证明见解析；（2）证
7、明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用等差数列的定义推证；（2）依据题设运用错位相减法推证；（3）借助题设建立不等式分类探求.试题解析：（1）当时，当时，即，（常数），又，是首项为2，公差为1的等差数列，（2），,相减得，（2）由得，当为奇数时，；当为偶数时，又为非零整数，考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用【易错点晴】本题以数列的前项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,借助数列前项和与通项之间的关系
8、进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列是等差数列；第二问中则借助错位相减的求和方法先求出；第三问是依据不等式成立分类推得参数的取值范围.8设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系式，可得，利用数列为等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得出，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.试题解析：（1），当时，即，又，即.（2），.考点：数列的求和；数列的递推关系式.9已知数列的首项，且满足，.（1）设，判断数列是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论；（2）求数列的前
9、项和【答案】（1）构成以为首项，为公差的等差数列；（2）【解析】试题分析：（1）对左右两边同时除以，那么构成了新数列即可求解；（2）结合（1）可求出数列的通项公式，进而利用错位相减的方法求出数列的前项和.试题解析：（1）， ，构成以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）可知，所以 -得 【考点】(1)利用递推关系求通项公式；（2）错位相消求数列前项和10为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据条件等式分与，利用与的关系可求得数列的通项公式；（2）首先结合（1）求得的表达式，然后利用裂项法求和即可试题解析：（1）依
10、题意有 当时，得；当时， 有得，因为，成等差数列，得.（2），考点：1、数列的通项公式；2、裂项法求数列的和11已知数列是等比数列，满足，数列满足，且是等差数列.（I）求数列和的通项公式；（II）求数列的前n项和。【答案】()；（）.【解析】试题分析：（）数列是等比数列,所以根据公式，求公比，根据首项和公比求通项公式，因为数列是等差数列，所以根据数列的首项和数列的第四项，求数列的公差，即求得数列的通项公式，最后再求得数列的通项公式；（），所以根据分组转化法：等差数列加等比数列求和.试题解析：（I）设等比数列的公比为q，由题意得，解得.所以. 设等差数列的公差为d，所以.即.解得.所以.从而（I
11、I）由（I）知.数列的前n项和为，数列的前n项和为. 所以，数列的前n项和为.考点：1.等差，等比数列求和；2.分组转化法求和.12设数列的前和为，.（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说明理由；（3）设,若不等式,对恒成立, 求的最大值.【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用，求得，这是等差数列，故；（2），这是等差数列，前向和为，故；（3），利用裂项求和法求得，解得，故.试题解析：（1）由,得,相减得.故数列是以为首项,以公差的等差数列.（2）由（1）知,由,得,即存在满足条
12、件的自然数.（3）,即单调递增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.故符合条件的最大值为. 考点：数列的基本概念，数列求和，不等式13设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用递推关系即可得出；（2）结合（1）可得，利用裂项相消求和.试题解析：（1）因为， 所以当时，. 当时，-得，所以.因为，适合上式，所以. （2）由（1）得，所以 .所以.考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.14已知函数，数列an满足a1=1，an+1=f（an）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=anan+1，数列bn的前n项和为Sn，若S
13、n对一切正整数n都成立，求最小的正整数m的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知可得到数列的递推公式，递推公式两边取倒数，可得数列是等差数列，求出的通项公式进而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，将其变形后利用“裂项相消法”求前项和，可得，只需即可（考虑为正整数）.试题解析：（1）an+1=f（an）=，取倒数，可得=+，则，即有；（2）前n项和为 令，解得m2017，可得m的最小值为2018；考点：1、数列的递推公式及通项公式；2、利用“裂项相消法”求数列前项和.15设数列an的前n项和为Sn，且首项a13，an1Sn3n（nN*）（1）求证：数列Sn3n是等比数列；（2）若an为递增数列，求a1的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由，可得数列是公比为，首项为的等比数列；（2）当时，利用为递增数列，即可求解的取值范围.试题解析：（1）证明：an1Sn3n（nN*），Sn12Sn3n，Sn13n12（Sn3n）又a13，数列Sn3n是公比为2，首项为a13的等比数列（2）由（1）得，Sn3n（a13）2n1，Sn（a13）2n13n.当n2时，anSnSn1（a13）2n223n1.an为递增数列，当n2时，（a
