对量子力学中不确定关系的认识

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1、不确定关系物理082任传辉 叶品昭 摘要：对海森堡不确定关系的建立与相关实验做了简单介绍，不确 定关系的一些简单的运用与计算，一点不确定关系的体会与其他几条 不确定关系。关键词：不确定关系波粒二象性波函数统计规律 正文不确定关系又名“不确定性原理”，“测不准原理”，是德国物 理学家海森伯在1927年提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律， 是物理学中又一条重要原理。它是自然界的客观规律，不是测量技术 和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。不确定关系是制约着自然界的一条基本原理。 但作为量子力学原理初学者,往往觉得不确定关系很难捉摸，自从海森堡在1927年提出 并论证了这一原理后，对它的

2、解释在国内外学者中一直存在着原则的 争论。海森堡不确定关系海森堡不确关系（有时也译成成海森堡测不准原理） 是指在一个 量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。 位置 的不确定性x和动量 的不确定性：p是不可避免的：h/2其中一是约化普朗克常数。1、不确定关系的建立1927年 2月，爱因斯坦向海森堡指出：“在原则上试图单靠可观察量去建立理论，那是完全错误的。实际上刚好相反，正式理 论决定我们能观察到的东西。只有理论，自然规律的知识，才能 使我们从感官印象中推断出基本现象。”海森堡马上领悟到：云室里的一条电子轨迹只是一长串颗粒 状的，其尺寸比电子大得多的小水珠，并不代表电子真正通过

3、的 一条精确地电子轨迹。接着海森堡用丫射线显微镜这一理想实验，对位置和速度进 行一番操作和分析，结果发现了著名的“不确定原理”，即：在微观领域里谈论一个例子同时具有确定的速度和位置，是毫无意义 的。要想准确度知道位置 x，就不能同时知道其动量 P；要想准确 知道动量P,就不能同时准确知道其位置 x ；如果我们放松一点， 让粒子的位置有个间隙.X，动量就有个间隙：P，那他们之间的关 系就满足下面公式：x p h （ h为普朗克常量）能量和时间这些物理量的不确定关系，正是量子力学中出现统计关系的根本原因 2、电子单缝衍射电子单缝衍射实验说明了电子的波粒二象性， 并验证了不确定关 系。图一、单狭缝衍

4、射简图我们可以用波粒二象性来讲述位置和动量之间的互补性。用平面 波来描述粒子。假若，这平面波遇到一座有一条狭缝的不透明挡墙， 平面波会穿过狭缝，在档墙后面的探测屏障，显示出干涉现象。从中 心点（最大波强度之点）到第一个零点（零波强度之点）的夹角 根据单狭缝衍射公式，可以表达为sin b = k 丨蛍；其中，是波长，是狭缝宽度。，是衍射现象的一种估量。狭缝 越窄，衍射现象越宽阔，二越大；狭缝越宽，衍射现象越窄缩，二越 小。当粒子穿过狭缝之前，在 y方向（垂直于粒子前进方向，x方 向）的动量Py是零。穿过狭缝时，粒子的Py遭到改变。Py可以由粒 子抵达探测屏障的位置计算出来。Py的不确定性A Py

5、大约是人py痒psin日叱日怎ph/国当粒子穿过狭缝时，我们可以相当有信心的说，粒子的位置不确 定性3是狭缝宽度：.y : - 所以，y Py 二 P从德布罗意假说， = h / p其中,h是普朗克常数，p是动量。所以，：P Py 二 h它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。 粒子位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然。因此 不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态。 轨道的概念已失去 意义，经典力学规律也不再适用。从电子的衍射实验可以看出：电子所呈现的粒子性，只是经典粒 子概念中的主要部分颗粒性，即电子具有一定的质量、电荷等属性但并没有严格地确定的位置、速度（

6、轨道）；电子的波粒二象性 实际上主要是指物质具有颗粒性和相干性应当指出：经典粒子和经 典波都是在宏观条件下，物质的理想模型在某些情况下，有些物质 仅显示其粒子性，而其波动性受到抑制.而在另一些情况下，有些物 质却只显示波动性，其粒子性又受到抑制.例如,当电子穿过云室时， 显示出有一定的质量，电荷等粒子的属性，其波动性就没有明显地表露出来,所以可以看作经典粒子.而宏观电磁场，则主要显示波动性， 而不是显示粒子性，因此可视为经典的波.可见经典粒子与经典波动 实际上都是分别忽略了波动性和粒子性的理想模型。对经典力学的质点，只要我们知道质点的初始条件，即t= 0时 质点的坐标X和动量Po（或初速度V。

7、）则t0的任意时刻质点的坐标X 和动量P由牛顿力学方程可以唯一确定，而对微观粒子体系中的粒子 则不然，我们不能说在某时刻粒子在某一地点出现，而只能说粒子在 该点可能出现，出现的几率决定于状态波函数的绝对值平方 LI2这 是微观粒子波粒二象性决定的。微观粒子的运动，坐标和动量不是同 时可以确定的，也就是微观粒子的坐标和动量之间存在不确定关系 ， 正是微观粒子有波粒二象性的反映。不确定关系尽管有着各种不同的导出方法，但它们共同的依据都是物质的二象性.从而充分表明波粒二象性的确是不确定关系的物3、海森堡显微镜实验理基础。用来定位电子位置的海森堡伽 马射线显微镜。波长为-的入射伽马 射线，被电子散射后

8、，进入显微镜 的孔径角在经典光学里，分辨电 子位置的不确定性是也x = MD。为了辩解不确定性原理，海森堡设计了一个想像的伽马射线显微 镜实验。在这实验里，一个测量者朝着电子射出一粒光子，想要测量 一个电子的位置和动量。波长短的光子可以很精确地测量到电子位置；但是，这光子的动量很大，而且会因为被散射至随机方向，转移了一大部分不确定的动 量给电子。波长很长的光子动量很小，这散射不会大大地改变电子的 动量。可是，我们也只能大约地知道电子的位置。一电子位置的不确定性 X是.：x ： 2 f / D其中，f是显微镜的焦距，是光子的波长，D是孔径的直径。 假设，电子原本的位置是在显微镜的焦点，那么，D/

9、 2 f = ta n日肚日其中是孔径角。所以，-X ：】./ 二由于动量守恒定律，光子的碰撞会改变电子的动量。根据康普顿 散射理论，电子动量的不确定性.sp是p hT/k其中，h是普朗克常数。所以，x p : 2h不论光子波长和孔径尺寸为何，位置测量的不确定性和动量测量 的不确定性，其乘积必定大于或等于一个下界，普朗克常数的数量级。 海森堡并没有给予不确定性原理一个精确界。他比较喜好将不确定性 原理用为一个启发性的数量宣告，正确至小因子。而经过严格的数学推导，不确定关系表示为：也xp兰h/24、对不确定关系的一些理解（1）“不确定”与“测不准”不确定关系说成“测不准”，容易使人认为，不确定关

10、系是对测 量过程的一种限制，似乎粒子本身是具有确定的坐标和动量的， 只是 我们没有能力精确地测量它们而已。 这是一个很大的误解。不确定关 系的确切含义是：粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应 的动量，因而，不能同时精确地测量它们。“测不准”是不确定关系的必然结果（2）不确定关系是统计规律的定量结果不确定关系表明，对微观粒子的位置和动量进行测量时，不能同 时具有确定值。这是对微观体系处于态进行多次测量的统计偏差。 事实上，在严格推导不确定关系时，应用的正是这种方法，所以不确 定关系正好是描写微观粒子统计性规律的定量反映。（3）摒弃“轨道”概念。由于不确定关系给出了微观粒子的坐标和动量不能

11、同时确定的 限制，这实际上指出了： “轨道”概念不适用于微观粒子。“轨道”概 念在经典力学中是以坐标和动量同时有确定值为前提的。这种说法与讨论波粒二象性时所指出的微观粒子的粒子性与经 典粒子性的区别在于对微观粒子“轨道”不再适用相一致。现在不确 定关系给出同样的结果，这说明不确定关系是微观粒子波粒二象性的 反映。（4）h的作用若h可以忽略，则回到了经典力学，即经典力学是量子力学当 h 0时的极限。换言之，不确定关系在宏观世界的效果，就好象上 微观世界里当h- 0时产生的效果。正如对应大批量中所提到的，当 h 0时，量子物理过渡到经典物理。5、不确定关系的简单应用（1）估算氢原子可能具有的最低能

12、量电子束缚在半径为r的球内，所以X = r按不确定关系p 托/r取p p肺/r，则氢原子的能量:E = p/2me e/4x0r代入得:E =2/2me2 e/4 陌 r基态能应满足：dE/dt=o由此得出基态氢原子半径:一护 /mer +e2 /4兀“r2 =0=A = ；0 2 / 二e?me = 0.53 X 10 m基态氢原子的能量 巳=-mee2/8g； h2=-13.6eV(2) 解释谱线的自然宽度例如：原子中某激发态的平均寿命为 At=10S则.：v = . ：E/h _ /h：t =1/2: ：t = 1.59 X 107 Hz6、其他的不确定关系(1) 能量-时间不确定性原理

13、不仅坐标和动量，凡是两个量乘积的量纲等于作用量h量纲的共轭量均有不确定关系，时间和能量之间也有这种关系。表示为：也E也t A斤/2尽管它在形式上与Ax.lp/2相似，但是，.st不表示时间的不确 定量。认为测量时间越短，能量的不确定度越大是不正确的。因为， 时间不是力学量，它对每一系统都适用，是具有确定意义的描写各种 过程演变的共同参数。所以，:t只能表示状态变化快慢的特征时间， 或表示，当体系的物理性质有明显变化时所需的最小时间间隔。(2) 薛定谔关系式给予了两个不相容可观察量的不确定性关系式：处于一个一维位势，一个粒子的能量与位置的不确定性关系式为AEAx h2in1()1角动量算符的两个

14、互相垂直的分量算符的不确定性关系式为 - |仏|其中，ij式z , ji标记沿着Xi -轴的角动量。这关系式意味着，在做实验时，一次只能测量角动量的一个分量， 通常是平行于外磁场或外电场的分量。根据金兹堡-朗道方程，在一个超导体内的电子数量 N和相位的不确定性关系式为N0 17、总结你要测量一个质子的位置和当前的运动速度， 你就要去“看”它， 就要用（至少）一个光子去照它，但你一照，也就改变了那个质子的 本身状态你可以用某种照射方法（比如用不同粒子，或不同强度的光） 测得尽可能精确的质子位置，但不可避免会把它“打飞”，所以它原来的速度你就得不到了。你也可以另一种方法去测它的速度， 但代价 是改

15、变了它的位置。总之不可能速度位置都精确得到。其本质区别在于：经典物理的测量是去了解一个已经存在在那里 的确定了的量。而量子力学中，测量前并不存在一个确定的状态，测 量实际上是“参与其中”，不同的测量方法会导致原先的“不确定状 态”变成某几个可能的“确定状态”之一，然后让你观察到。这是量 子世界的办事法则。是不是像概率那样？所谓几率性，是指由于微观客体运动时没有确定的连续轨道 ，我 们只能估计在某个时刻某个范围内出现微观粒子的可能性大小，即几率的大小。量子力学中的薛定湾方程正好给人们提供了确定这种几率 的方法。薛定鄂方程是一个微分方程，利用这个方程可以由反映系统 初始状态的波函数来确定该系统在以后任一时刻的波函数。有了波函 数,再求其几率密度，就可以确定微观粒子在某个时刻出现在某一点 附近单位体积内的几率。（1）在经典力学中，一个粒子的位置和动量是可以同时确定, 遵从牛顿定律，有确定的轨道。波粒二象性的“粒”不同于经典的牛 顿粒子，因为它抛弃了轨道概念。（2）波粒二象性的“波”不同于经典的波，它是服从统计规律 的概率波。经