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1、几何学的邂逅 几何学的邂逅 - - 这门课的主题是与以下三个定理相关的数学故事. (1) 笛沙格定理：若 2 个 3点形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。(2) 帕斯卡定理：圆上 6 点形 3枚对应边的交点共线。 (3) 蝴蝶定理： 笛沙格定理：设一个三角形的三个顶点为, 另一个三角形的相应顶点为. 若这两个三角形相应顶点的连线共点, 则此两个三角形相应边的交点三点共线. 帕斯卡定理： 设是圆上的 6点 - 和相交于一点，和相交于一点, 和相交于一点。则 三点共线。 蝴蝶定理：设是圆里一点. 是经过点的三枚不同的弦。又设与相交于两点。则 经由 有。 注释: 或许在这一短篇的前面和后面
2、你可以增添诸多的文字 以呈现这门课的主题或者别的哲思. 初等数学篇： 上一篇章中呈现的三个定理：笛沙格定理, 帕斯卡定理与蝴蝶定理 有着初等几何的证明。 在步入三个定理的证明之初，我们先说说梅涅劳斯的一个很有名的定理 （错误：图中P3改为A3,P2改为A2,P1改为A1。）梅涅劳斯定理(逆定理)：如图, 设分别是三点形的三边上的点, 则三点 共线 当且仅当 . 上述定理的必要性即为梅涅劳斯定理，充分性则为梅涅劳斯定理的逆定理：已知：E、F是ABC的边AB、AC上的点，D是BC的延长线的点，且有：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则E、F、D三点共线。这一定理的证明为：思路：采用反
3、证法。先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。再证P与F重合。 证明：如图，先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。 由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得： (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 AP/PB=AF/FB ； (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； AB/PB=AB/FB ； PB=FB；即P与F重合。 E、F、E三点共线。注释: 首先我们已知图中的直线关系：三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边相交于一点，然后再来求各个边的关系。 梅涅劳斯的功劳在
4、于，他根据上图的现象，发现了关系式：AF/FBBD/DCCE/EA=1 然后反过来再证明，如果满足这个关系，那么那条线是直线。 总之：从现象发现等式，再从等式反推现象，这两个工作使得这一发现成为定理。 问题：梅涅劳斯是怎么根据图中的现象发现或者计算出等式AF/FBBD/DCCE/EA=1 ？这个问题请大家思考。笛沙格定理： 设三点形 和 对应点的连线 ，共点于。又，。则 三点共线。 分析与证明：此定理的证明可建筑在上面的梅涅劳斯定理之上。其关键点在于读出适宜的三点形与点缀线：M1 ，M2 ，M3 ，其中E1，E2，E3分别为M2M3， M3 M1， M1 M2上的点 将直线作为三角形的截线，
5、经由梅涅劳斯定理，有 类似的, 我们有 将直线作为三角形的截线，可得 将直线作为三角形的截线，可得 将等式左右两边分别相乘，消得 旁观三点形，E1，E2，E3分别为M2M3， M3M1， M1M2上的点，经由梅涅劳斯逆定理 可得 三点共线。经由梅涅劳斯定理和其逆定理可以证明如下的帕斯卡定理(本圆版)：设 是圆上的 6点 - 和 相交于一点 ，和相交于一点，和相交于一点。试证明： 三点共线。 Q 设 交 于一点 ，交于一点 ；和相交于点 。 回眸 ：我们只要证 。然后由梅尼劳斯之逆定理 可知 三点共线 弦之影：经由梅尼劳斯定理 之相缀于 ： 之相缀于 ： 之相缀于 ： 圆之缘：经由 圆幂 定理
6、于是有 。由梅氏定理之逆定理 可知 三点共线问曰： 一般二次曲线下的情形何如 ？ 答：命题：若二次曲线内接六边形的三组对边不对称，求证：三组对边的交点共线。 引理：已知四边形的四边所在对边的直线分为：fi=0(i=1,2,3,4)则过四边形四顶点的二次曲线系为： f_1f_3+f_2f_4=0 (1)其中f_1f_3 f_2f_4为两组对边 回到原题证明：设二次曲线方程为f(x,y)=0,其内切六边形的各边AB，BC，FA的方程为f_i=0(i=1,2,6),对角线AD方程为g=0,则过ABCD四点的二次方程为： f_2g+ =0 (2)同样的，过AFED四点的二次曲线系方程为： f_5g+2
7、f_4f_6=0 （3）将（2）（3）转化成与f(x,y)=0重合的曲线： 1f(x,y)=f_2g+1f_1f_3 =0 (4)和 2f(x,y)=f_5g+2f_4f_6=0 （5）通过（4）（5）消去g得： 1f_1f_3f_52f_2f_4f_6=(1f_5-2f_2)f(x,y)=0 (6)可以看出，ABCDEF均在（6）的曲线上，又可以看出，LMN（分别为三组对边的交点）也在（6）上。 因为L，M，N不在f(x,y)=0上，所以，他们在曲线1f_5-2f_2上，而这是一个直线，所以L，M，N共线 童真的年代.如果与蝴蝶定理相识，则伴随我们的数学故事是否会多一分精彩 ? 蝴蝶定理.
8、如图,设是弦的中点。是经过点的两条不同的弦。又分别交于两点。则有 。 这一定理的一种初等几何的证明如下：证明: 连接 我们有 （错误：第一行的MC改为DM，第二行的AE改为AF，第三行的PE改为DE） 进而 我们有 （错误：第一行的QM改为QB，第五行的第一个ME改为MF） 从而 。（错误：BQ改为BM）注释：经由上面的证法，我们其实有如下的 定理. 如上图,设是弦是经过圆内一点的三条不同的弦。又 分别交于两点，则 平分当且仅当 平分. 此即： 这一定理的充分性为蝴蝶定理。必要性可曰蝴蝶定理的逆定理。 注释：蝴蝶定理的证法是非常多的。法一（Menelaus定理证明法）：如上图：延长CF，DE交
9、于G，由图知：PQG被EF、CD切割，由截线EF得：GF/FPPM/MQQE/EG=1由截线CD得：GC/CPPM/MQQD/DG=1因为GFDGEC 所以DGEG=FGCG即DG/CG=FG/EG（圆幂定理）经由圆内相交弦定理得：MP2/MQ2=（FPCP）/（EQDQ）=（APBP）/（AQBQ） =（AM-PM）（AM+PM）/（AM+MQ）（AM-MQ） =（AM2-MP2）/(AM2-MQ2)=AM2/AM2=1MP2=MQ2PM=QM法二：作FL/AB，延长线OM交FL于N，连MD、DQ，想证：FMPLMQ 因为OMAB ，所以ONFL 又因为FO=LO，所以N是FL中点，进而MF
10、=MD且PMF=LMB 所以MLQ=MDQ=PFM，因为PFM=MLQ，PMF=QML，MF=ML，所以FMPLMQ所以PM=QM注释: 问你是否可以在这里再多加上一点文字 高中数学篇 解析几何的思想就是用代数方法来研究几何问题，因此需要规定坐标系使得点的坐标与实数对之间能有一一对应的关系。而几何中的图形因为都是由点构成的，所以它们都可以用代数方程来表示。由此看出，通过坐标系可以把几何问题转化成简单的代数问题来解决。笛沙格定理的再现：设三点形 和 对应点的连线 ，共点于 。又 ，。则 三点共线。 分析与证明: 以为原点建立直角坐标系。设 -的坐标分别是其中 。 (I) 往下希望给出点的坐标:
11、设 。 于此先求出 (1.1) 直线的方程：（y-y1）/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)(y2-y1)x+(x1-x2)y=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1 同理得的方程：解联立方程 得的坐标是 注释 1: 这里的计算可以经由克莱姆法则 有 (1.2) 类似的, 经由对称性 可算得 的坐标 分别是(II) 为证 三点共线, 只需证E1E2E3的面积为0，即 注释 2: 给定平面上三点的坐标 , 则以此三点为顶点的三角形 的面积为 由此可得： 三点共线 当且仅当 注意到（I）中的的取值, 转化为求证 利用行列式的相关性质, 可简化计算和证明 (III) 利用行列式的相关性质计算可得 其中 因而 三点共线。 注释：从中学数学的尺度，或可解答如下 在求的点 的坐标后 (1.3) 问直线的方程：经由和的直线方程形如下 可简化为 经整理得到：可消去公共项，得到直线的方程为：(II) 经由对称性, 可算得直线的方程形如下： (iii) 比较直线的方程 和直线的方程，两者是一致的。 此即 三点共线,作业： (1) 试证明: 给定平面上三点的坐标 , 则以此三点为顶点的三角形 的面积为 证明：由已知条件得：E1E2（，）E2E3（，）E1E2E3E1E2E2E3（）（）（）（）证毕。
