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1、14-5线段最大值与最小值的解题思路回顾：1线段公理两点之间，线段最短；2对称的性质关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3三角形两边之和大于第三边；4三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短一、 两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。例1. 如图，在平面直角坐标系中，三个点的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形
2、CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）看数据的特殊性，30P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍P点在GH上运动速度等于它在直线GA上运动速度求GH+GA的最小值这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：简化图形转化题意由果索因画图说理课堂练习：1如图，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90。，D是BC边的中点
3、，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_2在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是_例2、如图2，正方形ABCD的边长为4，DCB的平分线CE交DB于点E，若点P,Q分别是CD和CE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ） A.2 B. C.4 D. 已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的
4、最大值及相应的ACB的度数. 图1 图2 图3二、三角形两边之和大于第三边求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例1.在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；（3）若B
5、C=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值课堂练习（西城8）如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是A BC。 D 6三、线段差的问题已知两点A、B与直线（AB与不平行且在同侧），动点P在上，求。连接并延长交直线于点P，则点P为所求最大值时所取的点，。先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图，直线l上有、两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点、的距离之和最小，很明显点P的位置可取在和之间的任
6、何地方，此时距离之和为到的距离. 如图，直线l上依次有、三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点、的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点处，此时距离之和为到的距离. (想一想，这是为什么？)不难知道，如果直线l上依次有、四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点和之间的任何地方；如果直线l上依次有、五个点，则相应点P的位置应取在点的位置. 图图【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为. 【问题一】：若已知直线l上依次有点、共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ；若已知直线l上依次有点、共50个点，要确定一点P
7、，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 . 【问题二】：现要求的最小值，根据问题一的解答思路，可知当x值为 时，上式有最小值为 .四、 几种变式变式如图1，为正方形ABCD的边BC上的中点，且BC=2，请在对角线BD上找一个点P使PC+PE的值最小为 。ABCDEP图3图1 图2 图4变式2如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB 5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_变式3、如图3，梯形ABCD中，AD/BC，BE平分ABC，且BECD于E，P是BE上一动点。若BC = 6，CE=2DE，则 | PCPA | 的最大值是 变式
8、4如图2，如图，CD是O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，则（1）AP+BP的最小值为 （2）AP-BP的最大值为 变式5 图3-7如图3-7，正方形ABCD的边长为，CE3，CF=2，请在边AB,AD上找两个点G、H使四边形EFGH周长最小，并求出此时的周长。 变式6、抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。ADCB变式7、如图（1），直线与轴交于点C，与轴交
9、于点B，点A为轴正半轴上的一点，A经过点B和点，直线BC交A于点D。（1）求点D的坐标；（2）过，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。图3-8变式8、如图3-8，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；(3)在
10、x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由变式9（2010天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点（）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标OABxyCDOABxyCDED（备用图）变式10如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。在抛物线的对称轴上
11、找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。变式11、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由作业1、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在
12、AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。2如图（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是_。3、如图13，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，），且P（，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、
13、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值图14图13 提高作业（利用旋转对称变换）EA DB CNM2010宁德第25题：如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；FEA DB CNM 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.2. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求BPC的度数小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将BPC绕点B逆时针旋转90，得到了BPA（如图2），然后连结PP请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中BPC的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P
