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1、正弦定理教学设计湛师附中 袁红梅一、教学内容 人教A版教材 高中数学必修5 第一章第一节二、教材分析“正弦定理”是既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。三、教学目标1、通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、让学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。四、教学重难点重点：正弦定理的发现和推
2、导及应用；难点：正弦定理的推导。五、设计思路我首先一个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题。六、教学过程（一）设置情境 师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？生：思考提出测量角A，C。 师：若已知测得ABC=75，ACB=45，如何计
3、算A、B两地距离？生：（沉思）我们学习过在直角三角形里已知一边和一锐角，能求其它边和角，但非直角三角形的边角相等关系还不知道，能求吗？师：这就是我们今天所要研究的问题：斜三角形中的边角相等关系。注：从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲。（二）探索研究 师：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=,AC=,AB=, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，CAB有，又, 则 从而在直角三角形ABC中， 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形
4、两种情况：CABD如图（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有,则， 同理可得， 从而。 （2）当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）思考2：还有其方法吗？ 生：面积法。师：除了面积法，由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。（证法二）：过点A作单位向量， 由向量的加法可得 则 CABj ，即同理，过点C作，可得 从而从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1） 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等
5、价于，思考：正弦定理的基本作用是什么？已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。师：一般地，把三角形的三个角、和它们的对边、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。（三）定理运用师：现在能解决我们开头提出的问题了吗？生：可以。（学生独立完成，老师点评）例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角C，再由正弦定理求其他两边。例2：在中，已知，解三角形。例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。练习：第4页练习第2题。（四）课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：；（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（五）布置作业：必做：P10的1、2题。课后思考：（2） 你还能用其它方法证明正弦定理吗？有兴趣的同学可以在课后继续进行讨论
