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1、1-4 平面曲线运动1、 自然坐标有些情况下质点相对参照系的运动轨迹是已知的，例如以地面为参照系，火车（视为质点）的运动轨迹（铁轨）是已知的。这时可以采用如下方法确定质点的位置。在运动轨迹上任取一固定点O，然后规定从O点起，沿轨迹的某一方向（例如向右）取得的曲线长度为正值，反之为负值，这样质点的位置就可以用唯一地确定。这种方法称为自然法。点称为自然坐标的原点，称为自然坐标。当质点运动时随变化，=(t)为运动方程。用自然坐标表示的质点运动方程，平面运动由于加了一定的限制，或约束，描写质点运动的坐标变量减少了，只需一个变量，或自由度变为1，类似直线方程。自然坐标质点运动方向的描述为了在自然坐标下描
2、述质点运动速度和加速度的方向，在质点运动的轨迹上，对每一研究位置或点作一个直角坐标系：两个轴的方向，一个沿着轨迹的切线方向，指向运动方向用e表示，称为切向；另一个指向轨迹凹的一侧，与切向垂直，称为法向，用en表示。实际上这两个描述运动方向的单位矢量也是的函数。2、 用自然坐标表示质点的速度 表示速度的方向，表示速度的大小 当0时，0，有=1，V=，=的方向趋向P点处轨迹的切线方向。无论曲线的形状如何，速度的方向永远在切线方向，运动的一侧，所以速度可以表示为：=V。3、 用自然坐标表示质点的加速度由加速度的定义，因为|d=d；d=d其中：称切向加速度；称法向加速度。法向加速度和切向加速度的作用
3、在一般平面曲线运动中质点的法向加速度和切向加速度所起的作用和圆周运动的情况相同，法向加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。切向加速度只改变速度的大小，不改变速度的方向。在一般平面曲线运动中，速度的大小和方向都可以同时改变。如果，质点没有法向加速度，方向不变，只能有速度大小的变化，作直线运动，如果质点只有法向加速度，没有切向加速度，运动方向改变，速度大小不变，作匀速率圆周运动。它们都是一般曲线运动的特殊情况。4、 由质点的运动方程求曲率半径对于一个质点作平面曲线运动，如果运动方程已知，为：=(t)，=(t)，可以求出速度的各个分量：，速度为：=Vx+ Vy速度的大小为：=。进而可以求出加速度
4、和法向加速度，加速度的各个分量为：，所以加速度为：= ax+ay= a+an，其中切向加速度为：；法向加速度为：又因为，则：例题：一个半径为R的滑轮，可绕水平轴O1转动，轮的边缘有绳，绳的一端系有重物，如图所示，已知重物的运动方程为，试求轮缘上任意一点M在时刻的速度和加速度。解：设在某一时刻，=0，M点所在位置O为自然坐标的原点，在同一个时间内M点经历的路程和重物下落距离相同。所以M点的运动方程也为。M点在时刻的速度的大小为，速度在切线方向，运动一侧。因此=V=，法向加速度和切向加速度分别为：=和总加速度的大小和方向分别为： tan=。注意：法向和切向加速度的方向。假如已知质点运动方程是用直角坐标系表示的，也可以用类似的方法求出曲率半径R。
