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1、一、 复数基本概念及初等函数1、= 2、复数的模为 ，主辐角为 3、的指数表示式为 4、设，则 5、 6、 7、复数的值为 8、求下列方程的根：（1） （2）二、 解析函数与调和函数1、 函数在何处可导？何处解析？2、 设，证明它是解析函数，并求3、 若为解析函数，求4、 设证明u(x,y)是调和函数，并求解析函数5、 设求解析函数，且使得6、 若函数在区域D内解析，且在D内是一个常数，证明是常数。三、 级数1、 级数的收敛半径为 2、 若在z=2处条件收敛，则它的收敛半径为 3、 若在z6处收敛，则它在z7处 4、 把在z=1处展开成泰勒级数5、 把在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：（1）
2、（2）6、 把在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：（1） （2）四、 共形映射1、在z=1+i处的伸缩率为 ，转动角为 2、在映射下，扇形区域的像区域为 3、将映射成什么图形？4、求将上半平面映射成单位圆，且满足的分式线性映射。5、求且满足,且将单位圆映射成单位圆的分式线性映射。五、 积分1、的奇点是 2、z=0是的 级极点。3、z=0 是的 级极点，且 4、，则 ， 5、求，其中C是连接z=0和z=1+i的直线段6、 7、 8、求以下积分：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9）9、如果在内解析，且，证明：，n取正整数参考答案：一、1、 2、 3、 4、 5、 ， 7
3、、 二、1、在（0，0）处可导，处处不解析 2、3、 5、三、1、0 2、1 3、收敛 4、5、（1） （2）6、（1）（2）四、1、 2、 4、 5、五、1、 2、三级 3、一级，0（提示：求洛朗展开式） 4、，5、 6、 7、（提示：求洛朗展开式） 8、（1）0 （2）0 （3） （4）0一、填空题1、复数的模 ，辐角 2、复数的指数表示式为 3、 4、函数关于的幂级数展开式为 二、选择题1、下列积分值可能不为0的是（ ）（利用柯西-古萨基本定理判断）(A) (B) (C) (D) 2、为函数的（ ）（分别判断z=0是分子分母的几级零点） (A)零点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D)
4、 三级极点3、映射在点处的伸缩率是（ ）(A) (B) (C) (D) 4、函数在点z可导是在点z解析的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)无关条件5.方程所表示的曲线是( ) (A) 中心为 ,半径为的圆周 (B) 中心为 ,半径为的圆周 (C) 中心为 ,半径为的圆周 (D) 中心为 ,半径为的圆周三、函数在何处可导？何处解析？四、已知，求使得解析。五、将函数在下列区域中展成洛朗级数：（1）（2）六、计算下列积分：（1） （2）七、求把上半平面映射为圆域且满足的分式线性变换。答案一、填空题1、， 2、 3、4、 （）二、选择题CCBBC三、解
5、： 因此， 函数处处不可导，处处不解析。四、 因此 所以 五、解：（1） 因此 （2） 因此 六、（1） 解：有2个奇点： 原式= （2）解：奇点为 为二级极点 原式= 七、解：设 则 因此所求的映射为 一、填空题（30分）1、设，试用指数形式表示= 2、方程的全部为 3、复数的值为 4、映射的伸缩率为 ，旋转角为 5、在有限复平面上，函数的孤立奇点为 6、函数关于z的幂级数展开式为 二、若函数在区域D内解析，且在D内为常数，证明在D内必为常数.（10分）三、证明为整个复平面上的调和函数，求使得解析。（14分）四、将函数在下列区域中展成洛朗级数：（16分）（1） （2）五、（20分）计算下列积分：（1） （2）六、（10分）求把上半平面共形映射为圆域的分式线性映射，且满足。答案一、填空题1、， 2、 3、 4、2，5、 6、 （）二、解：三、解： ，此时，u是调和函数。 由于解析，所以有从而解得 故所以四、解：（1） （2） 五、（1） 解：有2个奇点： （一级极点） （二级极点） 则 原式= （2）解：原式= =则 从而 六、解：首先作分式线性变换将圆域映射为再作从上半平面到圆域的分式线性映射 把上面两个映射复合，可得， 即由于 因此所求的映射为 8
