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1、第3课 方程、函数、不等式与图形的综合运用考点分析这一类型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想
2、所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.典型例题例1（2006淮安市）正比例函数与反比例函数图象都经过点(1，4)，在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方的自变量x的取值范围是（ ） Ax1 BOx4 D0x4 【解题分析】此题主要是考查同学们对正比例函数和反比例函数图像的认识理解。【同类变式】（2006荆门市）已知函数y=-kx+4与y=的图象有两个不同的交点,且A(-,y1)、B(-1,y2)、C(,y3)在函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )(A)y1y2y3. (B)y3y2y1. (C)y3y1y2. (D)y2y3y1.例2（2007四
3、川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值【解题分析】此题主要考查同学们灵活运用方法解方程以及直角三角形的相关知识.【同类变式】（07茂名市）已知函数的图象与轴的两交点的横坐标分别是，且，求c及，的值相关链接 ：若是一元二次方程的两根，则例3(07宿迁市) 如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切 （1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；（2）当圆的直径等于
4、正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由 【同类变式】 （2006年旅顺口区）一盒饼干的标价可是整数元哦！小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？当堂反馈1. （2006年江西省南昌市）一副三角扳按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1=x2=y，则可得到方程组为 （ ） A B C D2. （2006年贵阳市）如图6，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可
5、以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘AB = CD =，点E在CD上，CE =，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 ；（边缘部分的厚度忽略不极，结果保留整数）3. （2006金华市）初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨论后,同学们做了以下三种试验: 图案(1) 图案(2) 图案(3) 图案(4)请根据以上图案回答下列问题: (1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,长方形
6、框架ABCD的面积是 m2;(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为m,长方形框架ABCD的面积为 (用含的代数式表示)；当AB m时, 长方形框架ABCD的面积最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为m, 设AB为m,当AB= m时, 长方形框架ABCD的面积最大.(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案(4)这样的情形也存在着一定的规律 探索: 如图案(4),如果铝合金材料总长度为m共有条竖档时, 那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大. 配套练习1. （2006德州市）如图所示：边长分别为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向
7、右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的大致图象应为（）01-1-22.（2007湖北天门）关于x的不等式2xa1的解集如图所示，则a的取值是（ ）。A、0 B、3 C、2 D、1Oxyyk1xbyk2x123.（2007湖北孝感）如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是 4.（2007山东临沂）直线l1：yk1xb与直线l2：yk2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1xbk2x的解为 。5.（2007南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半电
8、视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别电视机洗衣机进价（元/台）18001500售价（元/台）20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润（利润售价进价）6.（07贵阳市）如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 （3）当圆O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成
9、立？请说明理由 （图1）（图1）（图1）（图1）7.（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB15，AD20，C30点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断AMN的形状ADCBMN参考答案例1. A 【同类变式】 A例2. 解：（1） 原方程变为：x2（m 2）x 2m p2（m 2）p 2m， x2p2（m 2）x （m 2）p 0，（xp）（x p）（m 2）（xp） 0，即 （xp）（x pm2） 0， x1 p， x2 m 2p（2） 直角
10、三角形的面积为， 当且m2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或【同类变式】解：令，即，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点 此时即由已知，(舍去)当时，解得综上：，为所求例3. 解：圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下： 圆的直径等于正方形的边长一半时，覆盖区域的面积不是最大.理由如下： 设正方形的边长为a，圆的半径为r 覆盖区域的面积为S 圆在正方形的内部，0r 由图可知：Sa2（a4r）24r2r2 a2（20）r28ara2 (20) r28ar (20)(r)2 0 当r 时，S有最大值 圆的直径等于正方形的边长一半时，面积不是最大
11、【同类变式】 解：设饼干的标价每盒x元，牛奶的标价为每袋y元， 则 由得y=9.20.9x 把代入，得x+9.20.9x10 x 8由得8x10 x是整数 x=9将 x=9代入，得 y=9.20.99=1.1答 ：饼干一盒标价9元，一袋牛奶标价1.1元当堂反馈1. D 2. 22 3. 解：（1）； （2）x2x ， ； （3）设AB长为m，那么AD为 S= 当时，最大配套练习1. A 2. 解：x，又不等式解为：x1，所以1，解得：a3。所以选B 3. x2 4. x1 5. 解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100x）台，根据题意，得，解不等式组，得x即购进电视机最少34台，最
12、多39台，商店有6种进货方案（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得y（20001800）x(16001500)(100x)100x100001000，当x最大时，y的值最大即当x39时，商店获利最多为13900元6. 解：（1）连接，由勾股定理求得：（2）连接并延长，与弧和交于，弧的长：圆锥的底面直径为：，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥（3）由勾股定理求得：弧的长：圆锥的底面直径为：且即无论半径为何值， 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥7. 解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P由已知，AMx，AN20x四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DC30，PAND30在RtAPN中，PNANsinPAN（20x），即点N到AB的距离为（20x）点N在AD上，0x20，点M在AB上，0x15，x的取值范围是0x15（2）根据（1），S
