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1、函数的对称性应用在高考中的考查 浅析函数f(x)图象的对称性中学数学,函数f (x)的图象涉及一些对称问题。那么,哪些函数的图象具有对称性呢?常有如下命题:1若yf (x)是偶函数,则yf (x)的图象关于y轴(即x0)对称;2若yf (xa)是偶函数,则yf (x)的图象关于直线xa对称即f (ax)f (ax);3若yf (x)是奇函数,则yf (x)的图象关于原点(即(0,0)对称; 4若yf (xa)是奇函数,则yf (x)的图象关于点(a,0)即f (ax)-f(ax) 对称; 5若函数yf (x)满足f (ax)f (ax)即f (x)f (2ax),则yf (x)的图象关于直线x
2、a对称;6若函数yf (x)满足f (ax)-f (ax)即f (x)-f (2ax),则yf (x)的图象关于点(a,0)对称; 7若函数yf (x)满足f (x)f (ax)b,则yf (x)的图象关于点(,)对称; 8在同一平面直角坐标系中,当横、纵坐标轴的长度单位一致时,yf(x)的图象与yf -1(x)的图象关于直线yx对称;9已知yf(x)的图象,则函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x对称;下面给予简单证明:设(x1,y1)满足yf (ax),(x2,y2)满足y f (bx); 即y1f (ax1),y2f (bx2);而x1x22m, y1y2y1f a(2mx2
3、)y2f (bx2) a2mx2bx2 xm注:若函数yf (x)满足f (ax)f (bx),则yf (x)的图象关于直线x对称。与命题9是不相同的。 10若函数f(x)与g(x)有相同的定义域,且f (x)g (x)a,则函数f (x)与g(x)的图象关于直线y对称。 以上命题的证明比较简单,请同学自己证之。下面谈谈它们的应用: 【例1】 函数f (x)x3的图像关于( ) 对称。 Ax轴 By轴C点(4,1)D点(1,4) 【例2】 已知函数yf (x)在(0,2)上是减函数,且yf (x2)是偶函数,那么( )。 Af ( )f( )f( 3 ) Bf ( 3 )f( )f( ) Cf
4、 ( 3 )f( )f( ) Df ( )f( 3 )f( )【例3】(2008京)已知函数 f (x)x2cosx,对于-,上的任意x1,x2,有如下条件: x1x2;x12x22;|x1|x2。其中能使f (x1)f (x2)恒成立的条件序号是_。 【例4】(08鲁)设函数f (x)|x1|xa|的图像关于直线x1对称,则a的值为( )A3 B2 C1 D-1 【例5】(05福建) f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f (2)0,则方程f (x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )。 A3 B4 C5 D7 【例6】(05广东)设函数f (x)在(-,+)上满足f (2x)f (2x),f (7x)f (7x),且在闭区间0,7 上只有f (1)f (3)0,试判断函数yf (x)的奇偶性;试求方程f (x)0在闭区间2005,2005上根的个数,并证明之。 【例3】 已知定义在R上的函数(x)满足(ax)(ax)(其中a为常数)。且xa时,(x)单调递减(增),求证xa时,(x)单调递增(减)。【例4】 已知f(x)是R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在f(x)的图象上,f-1(x)是它的反函数,那么不等式|f-1(log2x)|1 的解集是( )Ax|-1x1Bx|2x8 Cx|1x3 D无法确定1