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1、北京市东城区第一学期期末教学目标检测 高三数学（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知，则向量与（ ）A.互相平行 B. 夹角为 C.夹角为 D.
2、互相垂直2.已知集合,则集合等于( ) A B C D3.已知,为实数,则是的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在中,角,则的值为 ( ) A. B. C. D. 5.若是偶函数,且当时,则不等式的解集是 ( )A. B. C. D6.在的展开式中,常数项为15,则的一个值可以是 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 已知函数f(x)=-在区间上的反函数是其本身，则可以是 （ ）A-2，-1 B-2，0 C0，2 D8.已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则
3、点的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 北京市东城区2008-2009学年度第一学期期末教学目标检测 高三数学（理科）第卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号一二 三总分1-891011121314151617181920分数得分评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9.已知为等差数列,若,则的值为_.10.设,满足约束条件则的最大值是_.11.一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的半径是 ,球的体积为 .
4、12.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有_个.13.已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与该双曲线的右支交 于、两点,若,则的周长为_.14.直线和圆交于、两点,以为始边,为终边的角 分别为,则的值为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。得分评卷人15（本小题满分13分）已知函数.（）求的最小正周期及的最小值；（）若,且,求的值.得分评卷人16（本小题满分13分）北京的高考数学试卷中共有8道选择题,每个选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个选项是正确的).
5、评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题都给出了答案,已确定有4道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其有两个选项是错误的,有一道题可以判断其一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题,试求:() 该考生得分为40分的概率;() 该考生所得分数的分布列及数学期望.得分评卷人17（本小题满分14分）如图,在直三棱柱中,.()求证:;()求二面角的大小;()在上是否存在点,使得平面, 若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.得分评卷人18. （本小题满分13分） 已知函数.（）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求 的值；（）当
6、时,求函数的单调区间.得分评卷人19（本小题满分13分） 已知椭圆的对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,又点在椭圆上.()求椭圆的方程;()已知直线的方向向量为,若直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值.得分评卷人20.(本小题满分14分)已知点(N)顺次为直线上的点,点(N)顺次为轴上的点,其中,对任意的N,点、构成以为顶点的等腰三角形.()证明:数列是等差数列;()求证:对任意的N,是常数,并求数列的通项公式; ()在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.北京市东城区2008-2009学年度第一学期期末教学目标检测高三数学参考答案 （理科
7、）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1A 2A 3B 4B 5C 6D 7B 8B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9 105 112, 12. 12 13.26 14 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分13分）（1）解： =. .5分 因此的最小正周期为,最小值为. .7分 (2)由得=2,即. .9分 而由得. .10分 故. .12分 解得. .13分16. （本小题满分13分）解: ()要得40分,8道选择题必须全做对,在其余四道题中,有两道题答对的概率为,有一道题答对的概率
8、为,还有一道题答对的概率为,所以得40分的概率为. 5分 ()依题意,该考生得分的取值是20,25,30,35,40,得分为20表示只做对了四道题,其余各题都做错,故所求概率为;同样可求得得分为25分的概率为;得分为30分的概率为;得分为35分的概率为;得分为40分的概率为. 于是的分布列为2025303540 11分故=.该考生所得分数的数学期望为. 13分17（本小题满分14分） 解法一: ()在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.由可得.所以. .4分()过作于,连结.由底面可得.故为二面角的平面角.在中,在Rt中,故所求二面角的大小为 . 9分()存在点使平面,且为中点,下面给出证明.
9、设与交于点则为中点.在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线,又平面,平面, 平面.故存在点为中点,使平面. 14分解法二 直三棱柱,底面三边长,两两垂直.如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则.(),故. .4分()平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,由得令,则.则.故=.所求二面角的大小为. .9分()同解法一 .14分18. （本小题满分13分）解: （）依题意有，. 3分 因此过点的直线的斜率为，又 所以，过点的直线方程为. .4分又已知圆的圆心为，半径为，依题意， 解得. 6分（） . 因为，所以，又由已知 . .9分令，解得，令，解得. 11分所以,的单调增区间是,的单调减
10、区间是. 13分19（本小题满分13分） 解: ()由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为. 将点代入方程得,整理得, 解得或(舍). 故所求椭圆方程为. 6分 ()设直线的方程为,设代入椭圆方程并化简得, 9分由,可得 . ( )由,故. 又点到的距离为, 11分故,当且仅当,即时取等号(满足式)所以面积的最大值为. 13分20.(本小题满分14分)解: ()依题意有,于是.所以数列是等差数列. .4分()由题意得,即 , () 所以又有. 6分由得,可知都是等差数列.那么得,. ( 故 10分()当为奇数时,所以当为偶数时,所以 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只需. 当为奇数时,有,即 . 当时,;当时,;当, 式无解.当为偶数时,有,同理可求得. 综上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此时的值为或或.
