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1、六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。塞题精析例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ； ；在nt时刻，加速度变为(n + 1) a ，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程。解析：根据递推法的思想，从特
2、殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻t末的速度为vt = at2t末的速度为v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at3t末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at则nt末的速度为vnt = v(n)t + nat = at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n) = at(n + 1)n =n (n + 1)at （2）同理：可推得nt内通过的总路程s =n (n + 1)(2n + 1)at2例2：小球从高h0 = 180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n
3、 = 2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2）解析：小球从h0高处落地时，速率v0 = 60m/s第一次跳起时和又落地时的速率v1 =第二次跳起时和又落地时的速率v2 =第m次跳起时和又落地时的速率vm =每次跳起的高度依次为h1 =，h2 =，通过的总路程s = h0 + 2h1 + 2h2 + + 2hm + = h0 +(1 + + ) = h0 += h0=h0 = 300m经过的总时间为t = t0 + t1 + t2 + + tm + =+ + =1 + 2+ + 2()m + =18s例3：A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形
4、，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图61所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔t ，在每一个t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔t ，正三角形的边长分别为a1 、a2 、a3 、 、an ，显然当an0
5、时三只猎犬相遇。a1 = aAA1BB1cos60= avta2 = a1vt = a2vta3 = a2vt = a3vtan = anvt因为anvt = 0 ，即nt = t 所以：t =（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。）例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m ，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s
6、的宽松距离，设火车的牵引力为F ，则有：车头起动时，有：(Fmg) s =m拉第一节车厢时：(m + m)= mv1故有：=(g) s (F2mg) s =2m2m拉第二节车厢时：(m + 2m)= 2mv2故同样可得：=(g) s推理可得：=(g) s由0可得：Fmg另由题意知F = 31mg ，得：n46因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。例5 有n块质量均为m ，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图62所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第2块砖
7、平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2 = mgd将第3 、4 、 、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为：W3 = mg2dW4 = mg3dW5 = mg4dWn = mg (n1)d所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W = W1 + W2 + W3 + + Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (n1)d mgd例6：如图63所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi（i = 2 、4 、）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）。 将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力。解析
8、：本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1 、A2B2 、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1 、A2B2 、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图63甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1。 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有：NiL = Ni+1，得：Ni =Ni+1所以：N1 =N2 =N3 = = ()5N6 再以A6B6为研究对象，受力情况如图63乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1 、质
9、点向下的压力mg 。 选B6点为轴，根据力矩平衡有：N1+ mg= N6L 由、联立，解得：N1 =所以，A1B1薄片对A6B6的压力为。例7：用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L ，横截面是边长为h（h =）的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值。 解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。将从上到下的积木块依次计为
10、1 、2 、 、n ，显然第1块相对第2块的最大伸出量为：x1 =第2块相对第3块的最大伸出量为x2（如图64所示），则：Gx2 = (x2)G得：x2 =同理可得第3块的最大伸出量：x3 =最后归纳得出：xn =所以总跨度：k = 2= 11.32h跨度与桥孔高的比值为：=1.258例8：如图65所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n = 1 、2 、3 、）。 每人只有一个沙袋，x0一侧的每个沙袋质量为m = 14kg ，x0一侧的每个沙袋质量m= 10kg 。一质量为M = 48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行。 不计轨道阻力。 当车每经过
11、一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍。（n是此人的序号数） （1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析：当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔。小车以初速v0沿正x轴方向运动，经过第1个（n = 1）人的身旁时，此人将沙袋以u = 2nv0 = 2v0的水平速度
12、扔到车上，由动量守恒得：Mv0m2v0 = (M + m)v1 ，当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度u= 2nv1 = 4v1的水平速度扔到车上，同理有：(M + m)v1m2nv1 = (M + 2m)v2 ，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为vn ，根据动量守恒有：M + (n1)mvn12nm vn1 = (M + nm)vn ，即：vn = vn1 。同理有：vn+1 =vn若抛上（n + 1）包沙袋后车反向运动，则应有vn0 ，vn+10即：M(n + 1)m0 ，M(n + 2)m0由此两式解得：n，n。因n为整数，故取3 。当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动
13、到第n个人身旁，抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有：M + 3m + (n1)m2nmvn1 = (M + 3m + nm)解得：=同理有：=设抛上（n + 1）个沙袋后车速反向，要求0 ，0即：解得即抛上第8个沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋。例9：如图66所示，一固定的斜面，倾角 = 45，斜面长L = 2.00米。 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。 一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数 = 0.20 ，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。解析：因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每
14、次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解。设每次开始下滑时，小球距档板为s ，则由功能关系：mgcos (s1 + s2) = mg (s1s2)sinmgcos (s2 + s3) = mg (s2s3)sin即有：= =由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为在发生第11次碰撞过程中的路程：s = s1 + 2s2 + 2s3 + + 2s11 = 2 (s1 + s2 + s3 + + s11)s1 = 2s1 = 1012 ()11 = 9.86m例10：如图67所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1 、m2和m3 ，m2 = m3 = 2m1 。 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。 开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速v0 =沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T 。解析：当m1与m2发生弹性碰撞时，由于m2 = 2m1 ，所以m1碰后弹回，m2向前与m3发生碰撞。 而
