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1、 学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！新课标必修复习 第八讲 函数与方程 2008年7月一课标要求：1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一
2、半的试题与这三个“二次”问题有关。预计2009年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程有两相等实根（二重根），二次
3、函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若0，f(x)在区间p，q
4、上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。若p，则f(p)=m，f(q)=M；若px0，则f()=m，f(q)=M；若x0q，则f(p)=M，f()=m；若q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的两根都大于r 二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。【课前预习】1. 关于的方程有正根，则实数的取值范围是 。2
5、.【07山东文11】设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）ABCD3. 已知定义域为的函数是偶函数，并且在上为增函数。若，则的解集是 ；4. 函数的对称轴方程为，则常数= 。四典例解析题型1：方程的根与函数零点例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点。 （1） （2） （3）例2（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。题型2：零点存在性定理例3（2004广东21）设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时
6、，方程在内有两个实根。例4若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得； D若，有可能不存在实数使得；题型3：二分法的概念例5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；例6方程在0，1内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是（ ）A0.05
7、B0.005 C0.0005 D0.00005题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例7借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。例8借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）。题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例9（1）已知是方程的两个根，且，求的取值范围。（2）已知关于的方程的一根分布在区间（-2，0）内，另一根分布在区间（1，3）内，求实数的取值范围。例10已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.【课外作业】1若函数有负值，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.
8、 2若都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是 （ ）A. B. C. D. 3设函数，若，则关于的方程的解的个数为 （ ）A1 B.2 C.3 D.44是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A.2 B.3 C.4 D.55函数在0，2上 （ ）A.有三个零点 B.有两个零点 C.有一个零点 D.没有零点五思维总结1函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2解决二次函数的零点分布问题要善于结合图像，从判别式、韦达定理、对称轴、区间端点函数
9、值的正负、二次函数图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。函数与方程、不等式联系密切，联系的方法就是数形结合。新课标必修复习 第八讲 函数与方程（参考答案） 2008年7月【课前预习】答案: 1、; 2、B.【试题分析】令，可求得：。易知函数的零点所在区间为。 3、; 4、-4。四典例解析题型1：方程的根与函数零点例1 分析：利用函数零点的存在性定理或图像进行判断。解析：（1）方法一：故。方法二：令解得，所以函数。（2）， 。（3）， ， ，故在存在零点。评析：函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是定理；二是用方程；三是用图像例2 解析：（1）方法一令则根据选择支可以求得0；0；0
10、.因为0可得零点在(2，3)内选C方法二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx
11、+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断题型2：零点存在性定理例3解析：（1）函数f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续，且当x(m,1m)时,f （x）f(1m)当x(1m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m为极小值，而且对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1时，f(x) 1m0(2)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例4 解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”。点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型3：二分法的概念例5 解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个
