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1、秒杀高考数学题型之函数的性质（单调性、奇偶性）【秒杀题型一】：函数的单调性，分初等函数单调性、利用单调性的定义判断函数的单调性、复合函数的单调性、叠加函数的单调性四类。【题型1】：初等函数单调性。秒杀策略：熟练掌握几类初等函数（一次函数、二次函数，指数函数、对数函数、幂函数、绝对值函数）及其变换后的函数的单调性。1.(2011年新课标全国卷2)下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增的函数是 ( )A. B. C. D. 【解析】：由偶函数可排除选项A，再由单调性（在上函数中的绝对值可直接去掉。）可知选B。2.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 ( )A. B. C.
2、D.【解析】：由偶函数可排除选项B，再由单调性（在上函数中的绝对值可直接去掉。）可知选A。3.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 ( ) A. B. C. D.【解析】：由偶函数可排除选项B、D，再由单调性可知选A。4.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是 ( ) A. B. C. D.【解析】：由偶函数可排除选项A、B，再由单调性可知选C。5.(高考题)下列函数中，在区间上为增函数的是 ( ) A. B. C. D., 【解析】：选A。6.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】：由偶函数
3、可排除C、D选项，再由单调性可知选A。7.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是 ( ) A. B.,且 C., D.【解析】：由偶函数可排除C、D选项，再由单调性可知选B。8.(高考题)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为 ( ) A. B. C. D.【解析】：由奇函数可排除选项A，可看作，选D。9.(高考题)下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是 ( )A. B. B. C. D.【解析】：由奇函数可排除选项D，再由单调性可知选A。10.(高考题)下列函数中，在区间上为减函数的是 ( ) A. B. C. D.【解析】：选D。11.(2019年高考题北京卷
4、)下列函数中，在区间上单调递增的是 ( )A. B. C. D.【解析】：选A。【题型2】：利用函数单调性的定义判断单调性。秒杀策略：函数单调性定义的变形形式：对于定义域中的任意，且，若恒有则函数为增函数，反之为减函数，或，函数为增函数，反之为减函数。1.(高考题)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则 ( )A. B. C. D. 【解析】：可知函数在为单调递减，且为偶函数，选A。2.(高考题)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则当时，有 ( )A. B. C. D.【解析】：可知函数在为单调递增，则在为单调递减，选 C。【题型3】：复合函数的单调性。秒杀策略：同增异减原理：内外层函数
5、增减性一致则为增函数，不一致则为减函数。一定要注意定义域，所以在高考中重点考查与对数、根号复合。1.(2017年新课标全国卷II)函数 的单调递增区间是 ( )A.(-,-2) B.(-,-1) C.(1,+) D.(4,+)【解析】：外层函数为增函数，需内层函数为增函数，但需注意定义域，选D。【题型4】：叠加函数的单调性。秒杀策略：为；为；为；为；与增减性相反，的值域恒正或恒负，则有与增减性相反。1.(高考题)设函数，则是 ( ) A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数 C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数【解析】：函数为奇函数可排除选项C、D，增减性为型，
6、即是增函数，选A。【秒杀题型二】：函数的奇偶性，分判断函数的奇偶性、已知函数的奇偶性求参数的值 、具有奇偶性函数的性质及解不等式、构造奇、偶函数、利用函数奇偶性求值、熟记几类常考奇函数六类。【题型1】：判断函数的奇偶性。秒杀策略：先验证定义域是否关于坐标原点对称，如对称再判断与的关系，若，为奇函数；若，为偶函数。（切忌不能代特值判断。）1.(高考题)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为 ( )A.1,3 B.1,1 C.1,3 D.1,1,3【解析】：定义域为R的为1、3，而这两个函数均为奇函数，选A。2.(高考题)下列函数为偶函数的是 ( )A. B. C. D.【解析】：选项A、
7、B为奇函数，C为非奇非偶函数，选D。3.(高考题)定义域为实数的四个函数,中，奇函数的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1【解析】：四个函数分别为奇函数、非奇非偶函数、偶函数、奇函数，共两个奇函数。选C。4.(高考题)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( ) A. B. C. D.【解析】：选项A、C为偶函数，B为奇函数，选D。5.(高考题)下列函数为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】：选项A为非奇非偶函数，选项B、C为偶函数，选D。6.(高考题)函数；中为 偶函数的是 。【解析】：为奇函数，为偶函数。【题型2】：已知函数的奇偶性求参数的值。秒杀策略：赋值
8、法：逆用函数奇偶性，可代入定义域中的特值，一般情况下求几个参数的值代入几个特值（为了使运算简单，注意赋值巧妙。）。奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，利用此结论求参数非常简单。若利用f(x)与f(-x)的关系求参数的值运算比较繁冗。秒杀公式：二次函数不能为奇函数，可能为偶函数，当时为偶函数；一次函数不能为偶函数，当时为奇函数。1.(2007年新课标全国卷14)设函数为奇函数，则 。【解析】：赋值法：代入-1、1，可得。秒杀技巧：只需为偶函数，二次函数为偶函数要求一次项系数为0，即。2.(高考题)若函数为奇函数，则= ( )A. B. C. D.1【解析】：赋值法：代入1、1，可得，选A。秒
9、杀技巧：只需为偶函数，二次函数为偶函数要求一次项系数为0，即。3.(高考题)函数为偶函数，则实数 。【解析】：赋值法：代入4、4，可得。秒杀技巧：二次函数为偶函数要求一次项系数为0，即。4.(高考题)若函数为偶函数，则实数 。【解析】：赋值法：由，得。5.(高考题)已知函数是奇函数，则实数= 。 【解析】：赋值法：由，得。秒杀技巧：二次函数不能为奇函数，可能为偶函数，所以不能是二次函数，即。6.(高考题)若函数(常数)是偶函数，且它的值域为，则该函数的解 析式 。【解析】：，由秒杀公式可得：，当时不满足，所以，。7.(高考题)若函数是奇函数，则 。【解析】：赋值法：由，得。8.(2015年新课
10、标全国卷I13)若函数为偶函数，则= 。【解析】：只需为奇函数，赋值法：由得。9.(高考题)已知函数，若为奇函数，则= 。【解析】：赋值法：由，得。10.(高考题)若是偶函数，则 。【解析】：赋值法：由，得。【题型3】：具有奇偶性函数的性质及解不等式。秒杀策略：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴对称。 奇函数在对称区间上有相同的增减性，而偶函数在对称区间上有相反的增减性。秒杀技巧：在解不等式时，偶函数注意加绝对值，奇函数注意消去负号。若遇到复杂函数解不等式时，首先确定奇偶性、单调性，然后利用上面方法去解。1.(高考题)函数的图象关于 ( )A.轴对称 B.直线对称 C.坐标原
11、点对称 D.直线对称【解析】：为奇函数，图象关于原点对称，选C。2.(高考题)若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是 ( )A. B. C. D.【解析】：可知在上是增函数，过点，同时过，可大致画出函数图象，选D。亦等价于，选D。3.(2009年辽宁卷)已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【解析】：利用偶函数在对称区间有相反的增减性，可得，选A。秒杀技巧：这是一个抽象函数，可选满足条件的具体函数，如，代入即可，选A。4.(高考题)已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 。【解析】：等价于，
12、得。5.(2015年新课标全国卷II)设函数，则使得成立的的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【解析】：为偶函数，在上是增函数，原不等式等价于，选A。6.(2020年模拟题精选)设函数，则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】：为偶函数，在上是增函数，原不等式等价于，选B。7.(高考题)已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足 ，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】：原不等式等价于，即，选C。8.(2014年新课标全国卷II15)已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 。【解析】：由偶函数在对称区间上的单调性相反可大致画出的图象，的解集是，向右平移一个单位，可得。9.(2010年新课标全国卷8)设偶函数满足，则= ( ) A. B. C. D.【解析】：先解，利用偶函数性质得解集为，向右平移两个单位得选项B。秒杀技巧：关于直线对称，解集亦关于直线对称，而只有B选项关于直线对称。【题型4】：构造奇、偶函数。秒杀策略：公共定义域内，两个奇函数的乘积是偶函数；两
