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1、课 题3.4.1 分式方程（一）教学目标（一）教学知识点1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.2.通过观察，归纳分式方程的概念.（二）能力训练要求1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.教学重点能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义.教学难点能根据实际问题中的等量关系列出分式方程.教学方法尝试归纳相结合教科书中提供了多个实际问题，教师鼓励学生尝试，利用具体情境
2、中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.教学过程.创设情境，引入新课师在这一章的第一节分式中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.根据题意，可得方程=4.（1）我们说，分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式分式.可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.接下来，我们再来看几个这样的例子.讲授新课列出刻画现实世界的数学模型方程.师师在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？生涉及到三个
3、基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量试验田的面积.师你能找出这一问题的所有等量关系吗？生第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. （a）生还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量 （b）师我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少 kg呢？生根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000） kg.生根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=. (2)师,的实际意义是什么呢？生它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.师有没有别
4、的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.生根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：+3000= （3）师接下来，我们再来看一个问题师我们先来审题，找到题中的等量关系.生由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数2倍. （c）生还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. （d）师同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？生设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.师你很棒！下面同
5、学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.生我代表第一小组回答. 设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程：4= . （4）生我们组没有按照以上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y4）元，那么实际参加活动的人数为人，根据题意，利用等量关系（c），得方程：2=. （5）师上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们.（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几
6、何问题，刻画一个几何模型.图32如右图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2a,高AD=h，求内接正方形PQRS的边长.师生共析由于SPQR是正方形，SRBC，AESR，所以AE是ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长，ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差.由SRBC，可得ASRABC，于是有：=（相似三角形对应高的比等于相似比）.所以可设正方形的边长为x，由= 得：=.（其中a、h为常数）（6）师你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流.生从上图中可知SPQR是正方形，所以RQBC，又因为ADBC，所以ADRQ，ADCRQC.可得=.即
7、=.所以，设内接正方形的边长为2x，根据题意，得=.（a、h为常数）.（7）师你们表现得真棒！观察方程：=4 （1）= （2）+3000= （3）4= （4）2= （5）=（其中a、h是常数） （6）上面所得到的方程有什么共同特点？生不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.师是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程分式方程即分母中含有未知数的方程.随堂练习1.已知鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程.分析：题中的等量关系是：101千克鱼每千克鱼的捕捞费用=200元.解：x满足的方程是：101=200.2.补充练习
8、某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为14，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？解：抽调管理人员x人后，管理人员有（40x）人，销售人员有（80+x）人，则=.课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程分式方程.课后作业1.习题3.62.预习下一部分分式方程的解法.活动与探究如右图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm,高AD=80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，并求PN=2PQ时，PN的长是多少？过程由于PQMN是矩形，所以AEPN，这样APN的高可写成ADED=ADPQ，又PNBC，因此APNABC，于是可找到PN与已知条件的关系. 图33结果设PQ=x mm，则PN=2x mm.PNBCAPNABC=，即= 160x=9600120x,x=34 所以PN=2x=68（mm）板书设计3.4.1 分式方程（一）归纳：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
