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1、汇龙中学高二校本数学欣赏三 结合美函数与方程思想在解题中的运用【知识整合】1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量
2、关系；3函数的思想与方程的思想的关系在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数yf(x)看作二元方程yf(x)0，函数与方程可相互转化。4函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互
3、转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)（nN*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例题分析】题型1：函数思想在方程中应用
4、例1已知（a、b、cR），则有（ ）(A) (B) (C) (D) 变题：已知函数 或与的图象在内至少有一个公共点，试求的取值范围。题型2：函数思想在不等式中的应用例2若a、b是正数，且满足abab3，求ab的取值范围。变题： 设不等式对满足m-2，2的一切实数m都成立，求x的取值范围题型3：函数思想在实际问题中的应用例3（2011陕西理14) 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）题型4：函数思想在数列中的应用例4设等差数列an的前n项和
5、为Sn，已知，0，0，（1）求公差d的取值范围；（2）指出、，中哪一个最大，并说明理由。题型5：函数思想在立体几何中的应用 P MA H B D C例5（1）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设BAC，PAAB=2r，求异面直线PB和AC的距离。（2）已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。题型6：利用方程思想处理解析几何问题例6（1）直线与圆相切，则a的值为（ ）AB C1D（2）ABC的三边a，b，c满足b8c，试确定ABC的形状。 题型7：函数思想在三角中的应用例7（1）求的取值范围。变题：已知函数，当有实数解时，求a
6、的取值范围。题型8：方程思想在求函数最值中的应用例8（1）如果函数的最大值是4，最小值是1，求实数a、b的值。 （2）已知函数y的最大值为7，最小值为1，求此函数式。题型9：方程思想在数列知识中的应用例9若(zx) 4(xy)(yz)0,求证：x、y、z成等差数列。题型10：方程思想在三角知识中的应用例10ABC中，求证：cosAcosBcosC题型11：函数零点与方程的解例11（1）（2011天津理2）函数的零点所在的一个区间是（） ABCD（2）已知函数，则方程在（，）内有没有实数解？说明理由？【跟踪模拟训练】1.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x-
7、1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有相等实根.(1)求函数f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m,n的值，如果不存在，说明理由.2.某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知ABBC,OABC，且AB=BC=2OA=4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB、BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.3设的极小值为-8，其导数的图象经过（-2，0），两点，如图所示（1）求f(x)的解析式；（2）若对x-3，3，都有恒成立，求实数m的取值范围有思想，有快乐，有收获，有进步。
