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1、等比数列的前n项和-习题2.3（2）江苏省南通市如东县掘港高级中学 曹剑平一、教材分析1. 从教材的地位与作用看：等比数列的前n项和的习题2.3（2）一方面是等比数列的前n项和的内容的延续，与前面学习的等差数列的前n项和以及函数等知识也有密切的联系。另一方面它又为后继进一步学习其他数列求和以及本章回顾做准备。就知识的应用价值来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款类问题的计算等等。而且公式应用的过程中所渗透的类比、分类、整体、方程等思想方法，都是学生在今后的学习和工作中所必备的数学素养。就人文价值看，这部分内容的学习需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生创新思维和探
2、索精神，是培养学生学数学用数学的良好载体。2. 从学生的认知与能力看：教学对象是进入高中一年左右的学生，从他们的思维特点看，容易把等比数列的和与前面等差数列的和在公式的形成、特点、推导等方面进行类比，这是有利因素，应因势利导。不利因素是：等比数列的前n项和公式有本质的不同，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，这对学生的思维是一个突破，在使用过程中容易出错。另外，学生经过了一年多的学习，虽然具有了一定的分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力初步形成，但对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。3. 从内容的重点与难点看：重点是熟练运用等比数列的前n项和公式进行基本运算。难点是初步用错位相减、拆项分组等
3、方法求某些数列的前n项和，以及初步构建等比数列解决简单的实际问题。二、目标分析依据普通高中数学新课程标准，对本节习题课的学习确立如下目标：1. “四基”目标：能熟练运用等比数列的求和公式进行有关基本计算。能运用错位相减、分组等方法求数列前n的和。渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，体验数学的基本活动经验，磨练思维品质。2. “四能”目标：能构建等比数列解决简单的实际问题，提高学生的建模意识，以及提高学生从数学的角度探究问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生猜想、分析、综合的思维能力.三、教学方法与教学手段本节课是习题课，将课本P61-62的内容编成
4、学案，课前先独立完成，课上交流。利用计算机和实物投影仪等辅助教学。采用自主学习、合作学习、启发探究等教学模式。四、教学过程（一） 基础训练知识回顾1. 等比数列的通项公式： 等比数列的前n项和公式：性质：等比数列项的性质，和的性质。2. 处理习题2.3（2）的第1.2.3.4.8.9.10题，学生课前预先自主完成，课上实物投影，交流解题方法及注意点。以第8.9.10题为重点，其中第8题作为例题1重点讲解并板书，9.10题作为练习，复习等比数列的前n项和的公式和性质，意图是训练学生熟练用基本量法运算，做到又快又准。例1在等比数列中，已知q=，求的值.法一：（基本量法）=，两式相除得法二：（性质）
5、=3答案：50（二） 数学应用构建数列模型解决应用问题：处理习题第6.11.7题。其中第6题为例2，分析思路后PPt展示过程。另两题投影学生的书写过程。例2.某林场去年底森林木材储存量为330万。若树木以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年年底要砍伐的木材量为x万，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？（精确到0.01万）由题意得：，即，求得，答：每年砍伐的木材量x的最大值79.61万练习：1.资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达，每吨占地。环保部门每回收或处理废旧物资，相当于消灭工业废弃垃圾，。如果某环保部门2002年共回收处理了废旧物资，且以后
6、每年的回收量递增20%。2010年能回收多少吨废旧物资（结果保留两位有效数字）？从2002年到2010年底，可节约土地多少平方米（结果保留两位有效数字）？略解：每年回收的废旧物资组成以为首项，1+20%为公比的等比数列。所以2010年能回收的废旧物资为。从2002年到2010年底，共回收的废旧物资总量为相当于消灭了工业垃圾，从而可节约土地。ADBCGFE2.设正三角形ABC的边长为20cm，取BC的中点E，向三角形ABC外作正三角形BDE；同样取边DE的中点G，作正三角形DFG；如此继续下去，可得到一列三角形,求前20个正三角形的面积和。解：设所得的正三角形的边长组成的等比数列为，则，从而，所
7、以所得前20个正三角形的面积和为（）。小结：解应用题的一般步骤：（1） 审题：读题审题，理解题意，分清已知与未知&网Z&X&X&（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量间建立一个等比数列的数学模型（3）解模：利用等比数列的通项公式或求和公式求得数学模型的解，计算时务必细心，可能会按要求近似计算。（4）回归：检验解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。（三）拓展延伸处理课本习题第5.12.13.其中两条为例3，重点巩固分组法与错位相减法求数列的前n项和，延伸当等比是字母时要有讨论的意识。例3求和答案：小结：如果一个数列的通项公式可以写成的形式，而数列是等差或等比或可转化为能够求和的
8、数列，则数列的前n项和通常用分组法求，即分别求数列的前n项的和再相加减。.求和：答案：。小结：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可用错位相减法。注意：公比是字母时，需对其进行讨论。练习：求和答案：当a=1时，；当时，.求和：答案：当x=1时，；当时，。（四）思考深化思考题：已知数列的通项公式为=，求前n项的和。已知数列的通项公式为=，求前n项的和。五课堂小结：本节课在运用等比数列的求和公式进行基本运算的基础上，进一步运用错位相减、分组等方法求数列前n的和。通过构建等比数列解决实际问题，培养学生学数学用数学的意识。注意方程思想和分类讨论思想的应用。六测评练习1.等比数列中，则m
9、=_.2.已知数列的前n项和，数列，求数列的前2n项的和.3.已知首项都是1的两个数列满足。令，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和.4.从房产公司购买住宅一套，价值22万元，首次付款2万元后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清房款的本息和，问每年应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款多付多少元？（已知）测评练习解答1.解：由 得q=2或-2，又且，由前n项和公式得：或，因为，所以m=6.2.解：当n=1时，；当时，故，所以，所以3.解：因为，所以，即，所以数列是以首项，公差d=2的等差数列，故。由知，于是数列前n项和， 所以，两式相减得，所以。4. 解：设每年付款x元，由题意得，所以，所以，实际共付款约为，所以，答：每年应付款约为16753元，实际付款总额比一次性付款多付51295元。
