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1、第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根（1） 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作二、a （ a称为被开方数）。（2）平方根的性质： 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0只有一个平方根，它就是 0本身； 负数没有平方根（3） 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（4） 算术平方根：正数a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ J ”。（5） , a本身为非负数，即、.亍 0; 、5有意义的条件是a 0。（6）公式：（、. a ）2=a （a 0）；2、立方根（1） 定义：一般地，
2、如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“ a ”表示，读作 三次根号a”（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0;负数有一个负的立方根。（3） 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、平方根与立方根与区别：个且为 0.只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类:整数丿有理数分数（小数）自然数（
3、0, 1, 2, 负整数（-1, -2, 正分数（丄,2负分数（-1,23 )_3 )2)23无理数丿正有理数负有理数（有限小数、无限循环小数）（无限不循环小数 ）精品文档（2）按实数的正负分类:正有理数丿正整数正分数.正无理数实数零（既不是正数也不是 负数）负有理数丿负实数 0v a = a = * 0 a = 0a a 0； - a有意义的条件是a0。4、公式： （a ）2=a （a 0）； 2） J -a =（a 取任何数）。5、区分(Ja)2=a (a 0),与 va2 = a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为 0 （此性质应用很广，务必掌握）。7般来说，
4、被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小） n倍，例如.25二2500二508 识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=9易混淆的三个数（自行分析它们）(1) . a2 (2) (. a)2 (3) 3 a342=92=142=192=242=52=102=152=202=252=10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字:念【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为 3 - a和2a 3，求这个数？变式1、已知2a -1和- a - 2是m的平方根，求 m的值?变式2
5、、已知某个数的平方根分别为a 3和2a -15，求a和这个数?例2、（ 1）下列各数是否有平方根，请说明理由(-3) 2 0 2-0.01（2）下列说法对不对？为什么?4有一个平方根任何数都有平方根 例3、求下列各数的平方根：1（1）9（2）14只有正数有平方根 若a0, a有两个平方根，它们互为相反数(3)0.36变式3、.下列语句中，正确的是（）A 一个实数的平方根有两个，它们互为相反数C. 一个实数的立方根不是正数就是负数变式4.下列说法正确的是（）B .负数没有立方根D .立方根是这个数本身的数共有三个A . -2是（-2） 2的算术平方根B . 3是-9的算术平方根C. 16的平方根
6、是土 4D . 27的立方根是土 3题型三、化简求值例 1、已知 Ocx 3，化简：J(2x+1)2 - x-5变式 1、若 x+1 +|x + 1 =0,化简:J(1+ x)2(b - c)例2已知a,b,c实数在数轴上的对应点如图所示，化简JO2a_b +c_a +变式2、实数a在数轴上的位置如图所示，化简：a 1 + J(a 2)2变式3如图所示，数轴上A、B两点分别表示实数 1, .、5，点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的实数为()A. .$5 2 B. 2 5 C.：5例3、当a0(0)注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；若几个非负数的和是 0,那么这几个非负数均为0.例1、
7、已知实数x, y满足、x - 2+(y+1) 2=0,则x-y等于【变式1】 已知a、b是有理数，且满足(a 2) 2+b-3=0,则ab的值为【变式2】已知 2+(i + 5)2+|c+l|= 0那么a+b-c的值为【变式 3】已知(x-6)2+2 +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值求被开方数中的未知数的值例 2 若 y= x - 5 + .5 - x +2017,则 x+y=2变式1、若.X11x (x y)，则x y的值为()A1 B . 1C. 2 D . 3变式2、若x、y都是实数，且y= 2x -3，3-2x 4，求xy的值变式3、已知b =4、. 3a -22 -3a
8、 2 ,求丄 1的值?a b题型五、解方程3(x 3)27 = 0(2x -1)2 二. 252(1) (x 2)-4 =03(3) 27x125 =0题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是,10的整数部分，y是,10的小数部分，求 (y-、10)x，的平方根。变式1设m是7.13的小数部分，n为7 - . 13的小数部分，求(m，n)2017的值?精品文档.变式2、已知10的整数部分是a,小数部分是b,求a2 b啲值.题型六 关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1） _ .81 ；（ 2） 一 .16 ；（ 3）9 ；（ 4）4）2252I解（1）因为9=81，所以81 =
9、 9.例2 （ 1） 64的立方根是（2）下列说法中：土3都是27的立方根，翠y3=y，J64的立方根是2,环（8） =4。正确的有（）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个题型八、探索找规律11 （盐城市）现规定一种新的运算“”：玄b=ab，如3探2=32=9，则一探3 =（）22 （资阳市）若“！”是一种数学运算符号，并且1! =1，2! =2X1=2，3! =3X2X1=6，4! = 4X3X2X1，则 他98! 的值为（）A 50B. 99!C. 9900D. 2!493. 如果有理数 a,b满足I ab 2 I + I 1-b I =0，111 1试求一-+的值.ab (a
10、1)(b 1) (a 2)(b2) (a 2016)(b 2016)4. 观察思考下列计算过程：T 11 2 =121，.121 =11 ；同样:1112 =12321，12321 =111；由此猜想：=题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a-b 0时，得到a b。当a-b 0时，得到a b;当一=1时，a=b。来比较a与b的大小。b例2、比较 13 3 与-的大小。8 84、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据 较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例3、比较2 ,7与3,3的
11、大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设 a, b为任意两个正实数，先估算出 较。例4、比较 13 _3 与1的大小。8 8a与b得商。当a v 1时，av b ;当- 1时，abb22a 0, b0时，可由a b得到a b来比a, b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比综合演练一、填空题1.( -0.7) 2的平方根是2、若 a 2 =25, b =3,则 a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a- 2和a-4,贝U a的值是4、3 -兀 + 4 -応=5、 若m、n互为相反数，则 mJ5+ n =6、 若:-/a - a，贝V a07、若.3x -7有意义，则x的取值范围是& 16的平方根是土 4”用数学式子表示为9、 大于-眾，小于帧的整数有 个。10、一个正数x的两个平方根分别是 a+2和a-4，贝U a= , x=11、当x时，x -3有意义。12、当x时，.2x_3有意义。113、当x时，-1 _ x有意义。14
