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1、椭圆典型例题、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1 :已知椭圆的焦点是 Fi（O, 1）、F2（0,1）, P是椭圆上一点，并且 PFi+ PF2= 2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由 PFi+ PF2= 2FiF2 = 2X 2 = 4,得 2a = 4.又 c= 1,所以 b2 = 3.2 2所以椭圆的标准方程是+會=1.2已知椭圆的两个焦点为 F1（ 1,0）, F2（1,0），且2a = 10,求椭圆的标准方程.2 2解：由椭圆定义知c = 1,. b= 5 1 = 24. 椭圆的标准方程为25+24= 1.、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为 A
2、 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：（1）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1,2 2椭圆的标准方程为：1 ；41（2）当A 2,0为短轴端点时，b 2 , a 4,2 2椭圆的标准方程为：1;416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 x2 v2一例求过点（一3,2）且与椭圆+二=1有相同焦点的椭圆的标准方程.942 22X V解：因为c2= 9 4 = 5,所以设所求椭圆的标准方程为2 +匕=1.由点（一3,2）在椭圆上知a a 54 2 a 5=1，所以a2 = 15.所以所求椭圆的标准方程为
3、2 2x v + = 1.1510四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 已知中心在原点，焦点在 中点，OM的斜率为例:解:由题意，设椭圆方程为x轴上的椭圆与直线0.25,椭圆的短轴长为2Xax v 10交于A、2，求椭圆的方程.B两点，M为ABV21,x2X2a0，得2X22a2xkOMX12X2VmXM1_ 2a1 1a24,yMXm12a2X4V21为所求.五、求椭圆的离心率问题。一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.71 13 - eV33解:22c c2已知椭圆k 81 3c321的离心率e9，求k的值.解：当椭圆的焦点在x轴上时,28 , b 9，得c2k 1
4、由当椭圆的焦点在y轴上时，,11 k 1 Rn由e ，得，即294a29, b2 k 8，得 c2154 满足条件的k 4或k六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1若 ABC的两个顶点坐标 A( 4,0), B(4,0), ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A, B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a= 10,所以a= 5,2c= 8,所以c= 4,所以b2= a2 c2 = 9,故顶点C的轨迹方程为 X2 V2一一25+ g = 1又A、B、C三点构成三角形，y2x2 y2+卷二1 0)答案：亦+卷二1叶0)2 22
5、已知椭圆的标准方程是 +初=1(a5),它的两焦点分别是 F1, F2,且F1F2= 8,弦AB过点F1，求 ABF2的周长.a 25因为F1F2= 8,即即所以2c= 8,即c= 4,所以a2= 25 + 16= 41,即a=，石，所以 ABF2的周长 为 4a = 4 41.X2 y2、3 .设F1、F2是椭圆+ 4 = 1的两个焦点,P是椭圆上的点，且 PF1：PF2= 2: 1，求 PF1F2的面积.解析：由椭圆方程，得 a = 3, b = 2, c= 5,A PF1 + PF2= 2a = 6又 PF1 : PF2 = 2： 1,二 PF1 = 4,1 1PF2= 2,由 22 +
6、 42 = （2（5）2可知 PF1F2是直角三角形，故 PF1F2 的面积为 PF1 PF2 = qX 2X4 = 4.七、直线与椭圆的位置问题1 1例已知椭圆1，求过点P丄，丄 且被P平分的弦所在的直线方程.2 2分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k .k x 1 .代入椭圆方程，并整理得24.22.21 , 231 2k x 2k2k Xkk222k2 2k由韦达定理得X-|X212k2P是弦中点，X1X21.故得k所以所求直线方程为2x4y 301解法一：设所求直线的斜率为 k，则直线方程为y -20 .12解法二1：设过p 1,2 2的直线与椭圆交于 A
7、x1, y12生2y11,222y21,2X1X21,y1y21.B X2, V2 ,则由题意得2 2得x1X222 2V1V20 .将、代入得V1 V21丄，即直线的斜率为1x1x222所求直线方程为2x4y 30 .2 .直线1:2 2kx y k = 0与椭圆4 +号=1的位置关系疋（）A .相交B.相离C .相切D .不确定解析：/ kx-y k= 0,. y= k（x 1），即直线过定点（1,0），而（1,0）点在普+弓=1的内部，故I与椭圆手+-2 = 1 相交.答案：Ax2 v23若直线y= x+ 2与椭圆一 + v3 = 1有两个公共点，则 m的取值范围是（）m 3A. ( s
8、, 0) U (1 ,+s )B. (1,3) U (3 ,+s )C. ( s, 3) U ( 3,0)D. (1,3)y= x+ 2,解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.由x2 y2消去y,整理得（3 + m）x2 + 4mx+ m = 0.+匚=1m 3若直线与椭圆有两个公共点，3 + mM 0,则；解得= 4m 2 4m 3 + m 0 ,mM 3, m1.由m+ 3=1表示椭圆知,m0且mM3.综上可知， m的取值范围是 m1且mM 3,故选 B.答案：Bx2 V24. 2014郑州外国语学校月考已知椭圆-+ ； = 1的左、右焦点分别为 F1, F2,过F1且倾斜角为45。的直线I
9、与椭圆相交于A, B两点.(1)求AB的中点坐标；求 ABF2的周长与面积.2 2解：(1)由 + V2 = 1，知 a = 3, b= 2, c= 1. 32-F1( 1,0), F2(1,0) , I 的方程为 y = x+ 1,x2 y2 + =1 ,联立32消去y得5x2 + 6x 3= 0.y= x+1,设 A(X1, y1), B(X2, y2), AB 中点 M(x, y),则63Xl+ X2=匚，XiX2=匸，Xo =55X1 + X225，yo=宁=X1 + 1；I1=宁 +1 = |(或 yo=X0+1 = 5+1=5),32冲点坐标为 M ( 3, 2).由题意知,F2到
10、直线AB的距离d =|1 0+ 1|_12 + 12 =|AB|= j1 + k2 X1 + X2 2 4X1X2=8 .3 SAABF2 = 1|AB|d= 1X 誓X 2=誓,2255 ABF2 的周长=4a = 4 3.5. 已知椭圆4x2+ y2= 1及直线y= X+ m.(1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;(2) 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.4x2+ y2= 1 ,解：(1)由 y= x+ m,得 5x2 + 2mx+ m2 1 = 0.因为直线与椭圆有公共点，所以 = 4m2 20(m2 1) 0.解得于三mw5.设直线与椭圆交于 A(X1, y1)、B(x
11、2, y2), 由(1)知，5x2 + 2mx + m2 1 = 0,由根与系数的关系得 X1+ X2=今，X1X2 =5(m21).设弦长为 d，且 y1 y2= (X1+ m) (X2 + m)= X1 X2, d =X1 X2 2+ y1 y2 2=2 X1 X2 2；2 X1 + X2 2 4X1X24m2- 5 m2-12 J0 8m2.当m= 0时，d最大，此时直线方程为y= x.八、椭圆中的最值问题2 2例椭圆二 L 1的右焦点为F，过点A1,J3，点M在椭圆上，当 AM 2MF为最小16 12 值时，求点M的坐标.1 解：由已知：a 4， c 2 所以e ，右准线I: x 8 .2过A作AQ I，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ 2MF 显然AM 2MF的最小值为AQ，即M为所求点，因此 九 込，且M在椭圆上故Xm 243 所以M 2品,，3 .X2 y27 设P为椭圆4 + 9= 1上的任意一点，F1, F2为其上、下焦点，贝y |PF1|PF2|的最大值是 解析：由已知 a= 3, |PF11+ |PF2|= 2a = 6,|PF1|+ |PF2| 2jPF1|PF2|w (J)2= 9.当且仅当|PF1|= |PF2|= 3时，式中等号成立.故|PF1| |PF2|的最大值为9.答案：9
