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1、5.1矩阵的特征值和特征向量定义（矩阵的特征值和特征向量）设A为n阶方阵，如果存在复数及n维非零列向量x,使得(4-1)或(4-2)则称为A的一个特征值，x为A的对应于（或属于）特征值的一个特征向量。求n阶方阵A的特征值与特征向量的一般步骤如下。第一步：计算特征多项式。第二步：求出特征方程=0的全部根（重根按重数计算），则就是方阵的全部特征值。如果为特征方程的单根，则称为A的单特征值；如果为特征方程的k重根，则称为A的k重特征值，并称k为的重数。第三步：对A的相异特征值中的每个特征值,求出齐次线性方程组(4-3)的一个基础解系，则就是对应于特征值的特征空间的一个基，而A的属于的全部特征向量为其
2、中为不全为零的任意常数。特征值和特征向量有下列基本性质：性质1 设的全部特征值为，则有利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算。性质2 设为方阵A的一个特征值，且x为对应的特征向量，则对任何正整数k,为的一个特征值且x为对应的特征向量。更一般地，对于任何多项式，则为方阵的一个特征值，且x为对应的特征向量。性质3 设为可逆方阵A的一个特征值，则为的一个特征值，为的一个特征值性质4 设为方阵A的互不相同的特征值，为属于的特征向量，则向量组线性无关。更一般的，设为属于的线性无关特征向量，则向量组线性无关性质5 设的线性无关特征向量的个数不大于k关于特征值与特征向量的结论见下图：kA特征值对应特征向
3、量5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义（相似方阵）对于同阶方阵A,B，若存在同阶可逆方阵P，使得（4-4）则称A与B相似，或A相似于B，并称变换： 为相似变换。方阵的相似关系具有反身性、对称性和传递性。定理（方阵A与B相似的必要条件）设方阵A与B相似，则有(1)；(2)；(3)，即A与B有相同的特征多项式（从而A与B有相同的特征值）；(4)与相似，与相似，与相似。定理（方阵相似于对角矩阵的充分必要条件）n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量，且当A相似于对角矩阵D时，D的主对角线元素就是A的全部特征值。推论 方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征
4、值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数。定理（方阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是特征值），则A必相似于对角矩阵。矩阵可相似对角化的条件见下图（设A是n阶方阵）5.3正交矩阵定义（实向量的内积、长度、夹角、正交）对于中任意两个向量称实数为与的内积，记为，即向量的长度（或泛数）定义为长度为1的向量称为单位向量。若，则称由得到单位向量的过程为的单位化。如果,都是非零向量，则与的夹角定义为如果=0，则称与正交（或垂直），记为。定义（正交向量组）如果实向量组中不含零向量，且两两正交，则称为正交向量组（或正交规范向量组，或标准正交向量组），也就是说
5、，所谓向量组是一个正交单位向量组，是指它们满足。定理 正交向量组必是线性无关向量组定义（标准正交基）设为的子空间，如果V的一个基为正交向量组，则称它为V的正交基；如果V的一个基为正交单位向量组，则称它为V的标准正交基。用施密特正交化方法，可中任何线性无关向量组化为与原向量组等价的正交单位向量组。同样的，可用施密特正交化方法，将向量空间V的任何基化成V的标准正交基。定义（正交矩阵）如果实方阵A满足，或，则称A为正交矩阵。正交矩阵的等价定义正交矩阵有下列基本性质：(1)如果A为正交矩阵，则。(2)如果A为正交矩阵，则都是正交矩阵。(3)如果A,B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。(4)实方阵A为
6、正交矩阵，当且仅当A的列（行）向量组为正交单位向量组。利用上述的性质(4)，可以比较方便的检验方阵是否为正交矩阵。定义（正交变换）设A为n阶正交矩阵，则称到的线性变换y=Ax(对于x=)为正交变换。正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：(1) 保内积性：若，则；(2) 保长度性：若，则5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1 实对称矩阵的特征值都是实数。性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交。性质3 若为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于的线性无关特征向量正好有k个。定理 设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得为对角矩阵。5.5重点与难点本章的重点
7、是特征值和特征向量的概念及计算、方阵对角化的条件及计算，难点是实对称阵的正交相似对角化。1 特征值和特征向量的概念及计算特征值和特征向量有广泛的应用。深刻理解特征值和特征向量的概念并且熟练掌握特征值和特征向量的计算，是建立特征值和特征向量的一般理论并且应用其解决有关问题的基础。求方阵A的特征值的关键是计算行列式，求A的属于特征值的线性无关特征向量的关键是求齐次线性方程组的基础解系，而研究属于特征值的线性无关特征向量个数（着实研究方阵A可否相似对角化的关键）就是研究齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数。所以，无论从计算还是理论的角度看，本章内容都是前几章内容的发展和应用。在学习本章内容的过程中
8、，也可以使读者对前几张的有关基本理论得到进一步的理解，对有关的基本计算得到进一步的掌握。关于特征值和特征向量必须注意以下几点：(1)n阶方阵A的特征值共有n个（k重特征值算作k个特征值），它们就是一元n次代数方程在复数范围内的全部根。(2)特别注意特征向量是非零列向量。(3)方阵A的属于特征值的特征向量有无穷多个，它们就是齐次线性方程组的所有非零解向量。由此可知，如果都是属于的特征向量，则当（其中为任意常数，）时，仍是属于的特征向量。特别的，如果x为属于的特征向量，则将x单位化后得到的向量仍是属于的特征向量。(4)方阵的特征值，有的是实数，有的是虚数。对于A的特征值，若矩阵是实数矩阵，则齐次线
9、性方程组是实系数方程组，它的解可取为实向量，因而属于的特征向量为实向量；如果矩阵的元素中有虚数，则属于的特征向量的分量中可能有虚数。2 一般方阵的相似对角化相似是同阶方阵之间的一种重要关系，相似矩阵具有许多共同性质。那么在一类相似矩阵中，能否找到一个有代表性的且最简单的矩阵，使得我们通过研究它的性质就能得到这类矩阵的共同性质？这类问题中的一种常见问题，是研究方阵能否相似于对角矩阵的问题。由于对角矩阵实最简单的矩阵，而且方阵的相似对角化有许多重要应用，因此研究方阵相似于对角矩阵的问题是一个重要问题。研究方阵对角化的主要问题是：(1)对于给定的方阵A，研究A是否相似于对角矩阵？(2)若A可相似对角
10、化，如何求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得？从定理4.2和定理4.3知道，当n阶方阵A没有重特征根时，A必可相似对角化；当A有重特征值时，A能否相似对角化，取决于A是否有n个线性无关的特征向量，即属于每个特阵值的线性无关特征向量个数是否等于该特征值的重数。如果n阶方阵A相似于对角矩阵，则A的相似对角化的一般步骤如下。第1步：求出A的全部特征值；第2步：对A的相异特征值中的每个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，将所有这样的基础解系中的向量合在一起，按假定，这样的向量共有n个，它们就是A的n个线性无关的特征向量；第3步：令矩阵，则有其中是属于特征值的特征向量。注意P的列向量的排列次序与对角矩阵
11、的主对角线元素的排列次序相一致。下图是方阵相似对角化过程的框图。解方程A有重特征值么? 有 无A有n个线性无关的特征向量么? A可相似对角化有 求出A的n个线性无关的特征向量无A不可相似对角化令矩阵P=,则有3 实对称矩阵的正交相似对角化并非任何方阵都相似于对角矩阵，但实对称矩阵却是必定相似于对角矩阵的一类矩阵。对于实对称矩阵，一般地，我们希望用正交矩阵使之对角化，即求正交矩阵P，使为此，只需对n阶实对称矩阵A的每个特征值，取其次线性方程组的正交化单位化的基础解系，即属于特征值的正交化单位化的特征向量，将所有这样的特征向量放在一起，由实对称据阵的性质3，此向量组共有n个向量，而且它们是两两正交
12、的。事实上，若两个向量分别属于A的两个不同特征值，由实对称矩阵的性质2，它们是正交的；若两个向量属于A的同一特征值，由前面的取法，他们也是正交的。因此，若这些特征向量为，则它们是A的正交化单位化的特征向量，以它们为列向量做成矩阵则由正交矩阵的充分必要条件知P为正交矩阵，且有其中矩阵P的第j列是属于特征值的特征向量.下图是实对称矩阵的正交相似对角化过程的框图。解方程对不同的解方程为重特征值解方程为单特征值U不是正交向量组，将U先正交再单位化U只含1个向量，将U单位化U已是正交向量组，将U单位化得到n个标准特征向量令矩阵P=,则P为正交矩阵且使得从图中可以看出，实对称矩阵的正交相似对角化过程一般有4个步骤：求特征值，求特征向量，正交化，单位化。其中，只有在为重特征值，且对应于的线性无关向量组U不是正交向量组时，才应用施密特正交化方法将向量组U正交化。实对称矩阵的正交相似对角化在下章的二次型化为标准型的问题中有重要应用。
